繁分数化简技巧[1].docx

什么叫做繁分数？ _ 计算奥数专题一繁分数问题在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数, 叫做繁分数。2例如：X ；4繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线， 叫做繁分数的 主分数线(也叫主分线)。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和 分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依 次 向上为上一主分线，上二主分线；依次向下叫下一主分线，下二主分 线；两端的叫末主分线。如：上末主分线上一主分线2 石1弓 下一主各线 T 下末主分线根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。7 33十工如：C3 + -） +（2-1-） =-8 42一134什么叫做繁分数化简？ _计算奥数专题繁分数问题把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一 般采用以下两种方法：(1)先找出中主分 线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部 分一分母部分”的形式，再求出最后结果。5 W* 25x 二区 728此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算(2)繁分数化简的 另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数 的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与 分母部分所有分母的最小公倍数)，从而去 掉分子部分和分母部分的分 母，然后通过计算化为最简分数或整数。21+4-（21+4）X12262656-4511130 + 58 = 88 = 8繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与 分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式， 可按照分数、小数四则混合运算的方 法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化 成小数，再进行化简。繁分数的运算基本法则_计算奥数专题繁分数问题1.繁分繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题. 数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：工X 4上+工32 中槎为分母甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”.找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母.2. 一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.繁分数运算典型问题解析1_计算奥数专题一繁分数问题繁分数运算典型问题解析1额圆级数对附二第一届“华岁庚金杯”少年数学邀请赛决春一试第1题7 4 1 1黑4一十 一l计算，寺一裂?34 1623【分析与解】原式二一工><2=与父 = 4口131-128 1 8 侬33繁分数运算典型问题解析2第五届，华罗庚金杯”少年数学青请赛复赛第1落2.计两1分析与解】 注意，作为被除薮的这个繁分数的分子、分母均含有吗.于是，我们想到改变运算5顺序，如果分子与分母在19 2后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除效的这个整分数的值为L 9如果不一致，也不会嗜加我们的计算里.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的整分数，我们注意两个加数的分母相似，干是统一通分为1995X0,氏具体过程如下:59百才写63不-522)16、曰一在+ 522)砺后+砺9-0_ 195T32 , 1993乂0.4 + 4 乂0公0 5. 1 巨 1 32 1995x64 ?995x0.59 J993 + 2 04、1 0.4 J= 1-(x)= 1 + =1-19950,505 4繁分数运算典型问题解析3槌愈级数，独第审笫三届“迎养杯"敦学党春"决赛第一题第1题3.计算；1-41 -1987工分析与解】原式=1 = 1-萼=呼11 1193973 39731986繁分数运算典型问题解析4(g)级数：*1999年全国小学教学臭林坨星决 B矍弟2题1O4.计算：已知二三二:，则x等于多少? i+T- I】2+Tx+4Sx + 68卜 4区 + 1 12x +7 11 8x 4-6工分析与解】方法一二 =4】+ 1+2+2+-x+l 以 + 1 4交叉相乘有 88"6=96x+56, x=l, 25. i ii3ig9i 7方法二i 有 1 +； = _= 14一，所以 2 +-二二2 十 一 i 所以五 十 二一,那么咒=L 25.h 128_J33422 +冀 + 繁分数运算典型问题解析5(g麴级数:k5.求4.43,443，,44 ,43这IQ个数的和.9T4【分析与解】方A；4+43+443+ 44 43V*9个4= 4+04-1)4-(444-1)+. + (4424-1)10144= 4 + 44 +444 + ,.+ 44.4-9= -xloTT" (9 + 99+999+ 些9)-9现个。= -x(10-1) + (100-1) + (1000-1) + .+a 0000 7) - 99ioVq-=-x 111.100-9=4938271591.9 ""v- -9个1方法二 先计算这10个数的个位数字和为3x9X=3臼；再计算这10个数的十位数字和为4火为盼 加上个位的进位的3,为36 + 3 = 3回: 再计算这10个数的百位数字和为4黑步孙 加上十位的进位的3,为32+3=33 再计篝这10个数的千位数字和为4X2B,加上百位的进位的3,为2g+3 = 3再计算这1。个数的万位数字和为4然旧4,加上千位的进位的3,为24+3= 2圆再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2 = 2倒J再计算这10个数的百万位数字和为4X4R&加上十万位的进位的2,为16+2=1回 再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为12+1=1目;再计算这10个数的亿位数字和为4X2% 加上千万位的进位的1,为 + 1二趴 爵后计算这工。个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为回 所以，这10个数的和为4938271591.1郎年全国4：学敕学奥林匹克,初赛A卷第4题匕我们规定,符号。舞表示选择两数中较大数的运算,例如.3. 502.9=2.903.5=3.5.符号23155(0.625a)x(00.4)表示选择两数中较小数的运菖，例如：3,5A2.g=2,9A3.5=2,9.请计算：娶受,生GC0.3) + (zi2.25)、3 104【分析与解】原式“二 155非4 _ 5.15527 _ 打1 + 2 255 3期12 256繁分数运算典型问题解析7繁分数运算典型问题解析9!_ = _xn(16) (17) (17)理96隼全国小学教学奥林匹克初赛B卷第5题出规定(3)= 2X3X4, (4)=3X4X5, (5)=4X5X6, 口0)=9X期篌11,如果 那么方框内应埴的数是多少7【分析与解】0(-) = -i=I6xl7xl8-ul(16) (17)(17) (16)15x16x175繁分数运算典型问题解析8娥级& * /2 r" ,一1痴牛全国小学敷学奥林层克初赛B卷第5题民规定(3)= 2X3X4, (4)=3X4X5, (5)=4X5X6, (10)书X10X1L .如果JL=-其(16) (17) (17)那么方框内应埴的额是多少？1分析与簿】上(，-工+，=一二1-乂"吗 (16) (17)(17) (16)15x16x175级数；北京市第二迎春杯”毅学竞塞决骞第二题第2题9 .从和式1+ 1 + 1 +工+中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?2 4 6 3 10 121分析与解】 因为1+工=1,所以LLL工的和为1，因此应去掉工与工.6 12 42 4 6 128 10繁分数运算典型问题解析10励。级数：*108g年全国小学数学奥林匹克二次容第4憩10 .如图1-2排列在一个扇圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数, 例如L892915929.那么在所有这种数中.最大的一个是多少？图1 -2【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有9291B鼓大，于是最大的为9.291892915,繁分数运算典型问题解析11繁分数运算典型问题解析13殿检级数：*第一届“华罗庚金杯”少年敝学邀诂春决春二试第邈11 .请你举一个例子，说明“两个真分鼓的和可以是一个真分数，而且这三个 分敬的分母谁也不是谁的的效”.【分析与解】1 + 1=135 14 101141116 10 1510 15 6评注：本题实质可以说是寻找享生质数，为什么这么说昵?注意到_L+_=上L,当a+c = b时，有_1+_1二上L二二 axt> c xb axbxcaxb cxb axbxc axe当a% b、c两两互质时，显然湎足翔度.显然当a、& c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不 妨设淳为2,那么有2 + c = b,显然b、c为一对李生筋数.即可得出一般公式：一一十 一=> 与什2均为防敬即可.2x(c + 2) cx(c + 2 2xc繁分数运算典型问题解析12级数:*12. 计算 (1 为处喂"/(一焉)【分析与解】庾苴二(2 1)乂(2+1)“(3 1)><(3 + 1) x(10-1)x(10+1)2x23x310x10lx3x2x4 x3x 5x4x6x5x7 x 6xgx7x9 x8x10x9x112 x 2x 3x3x4 x4x.x 10x10Ix2x3x 3x4x4 x5x5x.p. x9x9x10xl 12x2x3x3x4x4x.x9x9xl0xl01x2x10x11 = 112x2x10x10 20第二展"华贡度金杯”少年敷孕速请赛.决赛第6题乂100,向a的整数部分是多少?11x66 4-12x67 4-13x684-14x69+15x7011x65+12x66+13x67 + 14x68+15x69【分析与解】11x66+12x67+13x68 4-14x69+15x70 皿、a=- x 10011x65 + 12x66+13x67+14x68+15x69=1卜(65+1)十 12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69+1) *1 0Q"11x65 + 12x66+13x67 + 14x68+15x69乂式1 +十 1520011x65+12x66+13x67+14x68+15x69= 100+X100.11+12+13+14+1511x65+12x66 + 13x67+14x68 + 15x69中斗11 + 12 + 13+14 + 15-11 + 12 + 13+14+15“门 100因为x 100 V <xlOO = 11x64-12x66+13x67+14x68 + 15x69(11 + 12 + 13+144-15)x6565所以日< 1。+& = 101生.6565同时11+12+13+14+15X100A11x65+12x66+13x67+14x68 4-15x69所以 a> 100+-101 .6969综上有1013<a< 1013.所以a的整数部分为10L114-12+13+144-15100k,. - xlOO = -01 + 12+13+14+15)x69696569繁分数运算典型问题解析140级数：*第六段“华，庚金杯”少隼敷整建请春复赛第8题99x-100与工相比，哪个更大，为什么?【分析与解】方法一之10黑乂”=41006 82 4 6 8X X X - X X3 5 7 91001101100 3 5 7 9101 101而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B>A*有 AXZ4XBOHnl 3 5 7RP x x x - x,2 4 6 375&-:设月)< 10199 .X._J1003 5=x j 所以有 &XA<100 10与工相比,107X X XX9710工更大.1099-x ,那么白<.10 10102 4 6 8m Q 1、3 3 5 52 2 4 4 6 6.XX，98 100 9999X 一X 一 100 100lx 3x3x 5x5 x7 x 7 x.x 97x97x99x99x12x2x4x4x6x6x8x.rx96x98x98xl00xl001x33x5 5x7显优、_2x24x4 6x6三尊、2都是小于1的，所以有<工，于是98x98 10010010繁分数运算典型问题解析15镌）麴级数：*制二届“华亨庚公称"少年敷用递请寡:决赛二试第1典15.下面是两个位整数相乘：111llxllLM.间上乘积的各位数字之和是多少?19334419B94-1【分析与解JSE算式中乘以乱再除以9,则结果不变.因为耳1，1能被9整除,所以将一个 mjj 1989个11先对1乘以9,另一个除以身使原算式变成999.99x123456790.0123456791兆9个9共19器位数_ （100000-0x123456 79001234 5679=" 工=q 一19%个。共焦羲位数=123456790.012345679 00000-1234567900123 J 5679共1兆鬲1%9个口位数123456790,012345679123456789876543209987654320987654321共徵品位教数学计算公式（常用公式）工数学计算公式 常用公式Q史如5L21. + 炉+3+ +-=(1+2+3+ +昊)*=立妇T3.41+3+5 + 7 4+ (2m 1j| =1+2+3 + - + lji+ it +lj| + +3 + 2+1 = /js=乌，-+5尸=型亡25,等比数列求和公式；2 （"七6 .平方差公式：/_=9+国（夜-町，7 .完全平方公式； y）?足文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方:和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起g士可土皿为便于记忆，可形象的叙述为，“首平方，尾平方, 2倍乘积在中央。繁分数的计算练习题及答案讲解1计算奥数专题繁分数问题繁分数的计算练习题及答案讲解例1优简275x326-5112 817924 179繁分数的计算练习题及答案讲解3计算奥数专题繁分数问题0990年马鞍山市小学数学竞赛试想)讲析:如果分别计算出分子与分母的值,则难度较大七观察式子，可发现分 子中含有326X274,分中中含有275X326.是可想办法化成相同的数,275 十？26 乂 214（274 + 1） X326-51275 + 326x274 _274x326 326- 51 "繁分数的计算练习题及答案讲解 2_计算奥数专题一繁分数问题繁分数的计算练习题及答案讲解2例2化简，/.3_J(3 + 4375)* 19-129(全国第辐“隼杯赛”复赛试题讲析:可把小散化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘 以个敷;以消除各自中的分母.于是可得21 11原式S 737 , 35、9179 二X- X-繁分数的计算练习题及答案讲解3例？化筒3&75x 1+30x009-0155- 041 _ -1,5 7i 55 vT2- + K4 32-168-1)x- ilnr 1 + 1 6 L25， 5 7J 3524C全国第掘z华杯赛”复赛试题）讲析由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计以。计尊时.哪一 步中能荷环的，就采用简算的办法去计算.原式分子=3-x - + 38-x ?L 3 54 100 200 23131 9 311=X 一 1 " X 一40 40 2 40 231T 9 1、/- (I + )402 231 =S原式分母=+(435-168- 132)父(-1#会+告13J 35,35 31635 44 24所以蝗繁分数”；; 1.繁分数的计算练习题及答案讲解4_计算奥数专题一繁分数问题化筒2|一j（北京巾第 届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连分数化荷，通常要从最卜层的分埒好始,白卜而上逐步化简。依此 法计矩 甄目的得数是2. I计算过春略）繁分数化简技巧（化多层为单层）_计算奥数专题化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简。11112529 29繁分数化简技巧（化复杂为简单）_计算奥数专题繁分数问题化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。1 23 471) 2+3、+167.17701 _ 154_26206320 -20 201 3ci 941 5x3.75x0.26 Ixlxl 1T - 0,52x1,5x7,5 2x1x2 422 )= =