初中数学圆的辅助线八种作法.docx

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造 性思维。添加辅助线的方法有很多， 本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线 的作法。下面以几道题目为例加以说明。1 .有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作由弦心距、 半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例1 如图1, OO的弦AR CD相交于点巳且AC=BD求证：PO平分/ APD分析1：由等弦AC=BDr得由等弧 =(进一步得由(=(，从而可证等弦 AB=CC由尚向中等弦上的弦，港相安分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线CD,易证 OP9 OPF5得出PO平分/ APDOEL AB, OFX证法1:作OEL AB于E,AC=BD => => =AC BD=> OE=OF/ OEP玄 OFP=900OP=OP >OF! CD于 F_(=> AB=CDAB CD=> OP亭 AOPF=>/ OPE玄 OPFl=> PO平分/ APD分析2:如图1-1 ,欲证PO平分/ APD即证/ OPAh OPD可把/ OP2/ OPD勾造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA OD因此易证 ACP a DBFP彳号AP=DP从而易证 OPAi OPDD图1-1证法2:连结OA OD/ CAP BDP/APE DPB => AACfPA DBPAC=BD;=>AP=DP OA=Od =>AOPAi OPD =>/ OPAh OPD =>POf 分/ APD OP=OP2 .有直径，方作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周 角是直角这个性质。图2例2 如图2,在 ABC中，AB=AC 以AB为直径作。O交BC于点D，过D 作。O的切线 DM庚AC于 M 求证 DM XAC.分析：由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。 于是可连结AD,得/ ADB=R忆，又由等腰三角形性质可得/ 1 = /2,再由弦切角的性质可得/ ADM=B,故易证/ AMD=ADB=90 ,从而 DMLAG 证明连结AQ=>/ 1 = /2AB 为OO 的直径=>/ADB=RtZ/ADM/ BAB=ACDMWO O于 D =>=>/ 1 + /B=/2+/ADM dAMD=ADB= Rt/ => DM，AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。3 .当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例3 如图3,AB是OO的直径，点 D在AB的延长线上，BD=OB DC切OO于C 点。求/ A的度数。分析：由过切点的半径垂直于切线，于是可作辅助线即半径 OC彳等RtA, 再由解直角三角形可得/ COB勺度数， 从而可求/ A的度数。解：连结OGDC切。O于 C => / OCD=90 OC=OB=BD=> CO9 CQD=QC/OD=1/2>Z COB=60说明, 例4 圆O过A、求证例5 于点P, j=> /A=1/2/COB=30由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。如图4,已知 ABC中，/ 1 = /2, D两点，且与BC切于D点。EF两圆相切，可作公切线或连心线、P/A述口图5,。与OQ外切I 条直线分别交。O与 |OQ于点 A、B1 |2X ID。求证 PB ? PC=PA PQAH => AE=BEOOXMCfe dta" o 2b BH BH AF F分析：欷证说明，7.相线是连结过交,fPC=PA PD,印证 PA： PB=PC： PD,AC BD”再证 AC证明 补全。O,延长AD变。O于H,签监弦所对的弧想到1院朝.AE O艮经过另一个圆的圆心,混到我痴题，常用的辅助H -例10 如图10,。与OQ相交于A、B两点，且Q在。上，点P在。上， 点Q在。Q上，若/ APB=40 ,求/ AQB的度数。分析连结QA、QB,在O O中利用圆内接四边形性质求得/ AOB=140 ,在。Q中,/ AQB=1/2/ AQB=70证明过程略。说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。几何辅助线的添加， 是几何学习的一个难点， 正确添加辅助线， 是沟通题设和结也是解题的重要手段。学生在做几何题时， 明知需要引辅助线， 但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添 加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握 解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。