高数下册试题库.docx

一、填空题1.2.过点M (4,3.4.设|a|5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.高等数学下册试题库x y zkz 10与直线平行的直线方程是21 11,0)且与向量aj 4k, b 2i3,|b| 2,(b)a面 Ax By直线过点曲面,B(1,2,1)平行的直线方程是b,则1,则(a, b)过原点，且与平面6x 2z,Dy 2 (z 1) 与 平 面 2x 1,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是M (2,0,3x 6y 3z 251)且平行于向量a (2,1, 1)及 b(3,0,4) 的平面方程是2y与平面z 5的交线在xoy面上的投影方程为号级数n 1x过直线一n n2nx设 f (x,y)的收敛半径是ln(x设 z arctan(xy)设 f (xy, x设 f (x, y)y)则dzz 3x 1且平行于直线202>fy(1,0),则x22x y ,则 fx(x, y)，则 dz|(1,2)曲线 x cost, y sin t, z sint costz 3的平面方程是3在对应的t 0处的切线与平面xBy0平行18.22曲面z x y在点(1,1,2) 处的法线与平面Ax By z 10垂直，则A19.设 a 1,0, 2 , b 3,1,1,则 a b =20.求通过点M 0 (2, 1, 4)和z轴的平面方程为21.求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x y 20的直线方程为22.向量d垂直于向量a 2,3, 1和b 1, 2,3,且与c 2, 1,1的数量积为 6 ，则向量d =23.向量7a 5b分别与7a 2b垂直于向量a 3b与a 4b ,则向量a与b的夹角为24.球面x2 y2 z29与平面x z1的交线在xOy面上投影的方程为38.过点(3,1, 2)和(3,0,5)且平彳f于x轴的平面方程为25.0的距离d是0，八 , 一、x 2y点M 0(2, 1, 1)到直线l :x 2y26.一直线l过点M 0 (1,2,0)且平行于平面,x 22yz 4 0 ,又与直线l :1x2相交，则直线l的方程是127.5, b2,2a3b28.设知量a, b满足a3,1,1,1，则a, b29.已知两直线方程LL2:y 1 z)-一，则过L1且平行L 2的平面方程是1130.i| b < 2(a$b)31.xy,则32.1 V1 x2sin x, y x3,贝zx 2,133.u x, yxlny ylnx 1则du34.由方程xyz72 确定 z z x, y在点1,0, 1全微分dz35.y 2 ，其中fzu可微，则 yx36.z曲线z2x22y ,在xOy平面上的投影曲线方程为37.过原点且垂直于平面2 y z 20的直线为39.与平面xy 2z 60垂直的单位向量为40.(-x) , (u)可微，则 2 y41.已知ln xx2 y2 ，则在点(2,1)处的全微分dz42.曲面ez 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为43.z x.yxy由方程e2z0,44.2x,xy2二阶可导，g u ,v具有二阶连续偏导数有z x y45.已知方程In46.dzdx47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.交换积分次序交换积分次序z一定义了yx.y.z1 .2 y20dy y1dy0xexy dxdyz x.y.ey.zf(x, y)dxf (x,y)dx(3x 2y)dxdy1.22dxdy1 x y.a2 x2 y2dxdy(x 6y)dxdydx e y dyx1 x 一dx x2 (x y ) 2 dy设L为x2y2 9,则Fy 2x /曲线 2 2在z 3x2 y20 y sin x ,其中 f都具有一阶连续偏导数，且 0,求z2dy1f (x, y)dx =其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1,其中D是由两坐标轴及直线x y 2所围2,其中D是由x2,其中D:,其中d是由y x ,_2(2xy 2y) i (x2 4x) jy2x24所确定的圆域5x,x 1所围成的区域按L的逆时针方向运动一周所作的功为1,2,7 点处切线方程为58.曲面X 2z y在(2, 1, 3)处的法线方程为 2159. ,当p满足条件时收敛n 1np60.级数一的敛散性是2nn61. anx 在x=-3时收敛，则 anx 在x 3时 n 1n 162. 若 1n a n收敛，则a的取值范围是 n 111、63 .级数 ()的和为n 1 n(n 1)2n164 .求出级数的和n 1 2n 1 2n 165.级数n(1n 3)n2n66 .已知级数 u n的前n项和snn,则该级数为n 1n 1n67 .号级数2xn的收敛区间为n1 nx 2n 168 . x的收敛区间为,和函数S( x)为n 1 2n 169.号级数(0 p 1)的收敛区间为，皿1，八70 .级数 当a满足条件 时收敛n 01 a71.级数n 12 2nn 4n的收敛域为72 .设号级数anxn的收敛半径为3,则号级数nan(x 1)n 1的收敛区间为 n 0n 1173 . f (x)-展开成x+4的幕级数为 ,收敛域为 x2 3x 22、74.设函数f(x) ln(1 x 2x )关于x的募级数展开式为 ，该募级数的收敛区间为 75.已知x ln yy Inzln x76.设 z (12 xyy ) yz，那么x77.设D是由xyy 3所围成的闭区域，则dxdyD78.设D是由| xy|79.22(x y )dsC80.(x2 y2)dxL选择题1.1及| x y | 1所围成的闭区域，则dxdyD,其中C为圆周x,其中L是抛物线y已知a与b都是非零向量，且满足，则必有（(A) a b 0 ；(B)(C) a(D)2. 当a与b满足（）时,b;(A) a b ；(B)b（为常数）；(C)3.下列平面方程中，方程过y轴;(A)(B)0；(C)4.在空间直角坐标系中，方程22y所表示的曲面是(A)椭球面；（B）椭圆抛物面;(C)椭圆柱面； （D）5.直线*与平面x(A)垂直； （B）6.(A).7.(A)8.(A)平行； （C） 夹角为a cost, y a sin t(0 t 2 )2x上从点(D) a0；(D) x单叶双曲面y z 1的位置关系是（）冗* a、r 兀一 ；（D） 夹角为一.4若直线(2 a +5) x+( a -2) y +4=0 与直线(2- a) x +( a +3)a =2(B).a =-2(C).a =2 或 a =-2(D).空间曲线(B)2,八在xOy面上的投影方程为（(B)7；(C)0,0到点2,4的一段弧。4y -1=0互相垂直，则（a =2 或 a =0；(D)）：y2 2cosx-2x6!，则关于在0点的6阶导数f(C)56(D)569. 设z z（x, y）由方程F（x az, y bz） 0所确定，其中F（u,v）可微,a,b为常数，则必有（(A)(B)(C)(D)10.设函数x, y11.（C）.可微(D)xysin ：22,x yx, y0,0，则函f x, y在0,0处（）（A）.不连续 （B）.连续但不可微x, y0,0.偏导数不存在设函数fx, y在点X0, y处偏导数存在，则x, y在点X0,y0 处（）（A）.有极限(B).连续 （C）.可微 （D）.以上都不成立12.x2y t2 e dt,则0(A).e-x4y2(B).e-x y 2xy (C). e-x y (-2t)13.已知f x, y在a, b处偏导数存在,limh 0(D).f ae-x4yh,b2(-2x 2y) f a h,b(A).0(B).fx 2a,b(C).14.设 f(x, y)xy22 ,x y0 ,(A)连续但偏导也存在(B)(C)连续但偏导不存在(D)15.函数fx,y(A).0(B).不存在16.(A)(C)17.(A).-fx a,b (D).2 fx a, b0,则在（0,0）点关于 f（x,y）叙述正确的是（0不连续但偏导存在不连续偏导也不存在2 44x y42 2y x0arctan xyxy1 (xy 4)xysec2(xy )1 (xy关于x的方程(C).无法确定(B)(D)(D).R2.2y20在0,0极限()y20以上都不成立1 (xy 721 (xy Vv1 x2有两个相异实根的充要条件是（）(B). -& * <2(C).1k72(D). 1v k 21x,y0,018.函数 f x, yxy sinx2，则函f x, y在0,0处()(A).不连续(B)x, y0,0.连续但不可微(C).可微(D).偏导数不存在19.设 fx,- xxy=xsin x，则f(x,y)(A). sinxy2x y+ x cos xxy2y2y y2x2x2 2 y(B) xsin -1y(C). sin 1(D).xcos - 120. 函数z0,0(A).不连续(B).连续且偏导数存在(C).取极小值(D).无极值21.设ln(A).0(B)22.(A).(B)23.若函数(A).xy(C).(D).yf x2f x, yfx x。，yO(B)右x0, y0是(C). fxy x0,Y0D以上结论都不正确24.判断极限lim(A).0(B)25.判断极限lim(A).0(B)26.x, y(A).1(B)z z-+(C).(D).yf在点x0, y处取极大值，则(0, fy xO, yO 0D内唯一极值点，则必为最大值点2 fxxx0, y0fyy x0,y00,且fxx x0,y0(C).不存在(D).无法确定(C).不存在(D).无法确定可微,x,3x(C).22 x -yz e ，其中，则fx(D).-21,3g x, y是由方程x y z xyz 0确定的隐函数，则27.设fx, y,zfx 0,1, 1(A).0(B). -1(C).1(D).-2k28.设f x, y,z是k次齐次函数，即f tx,ty,tz t f x, y, z ,其中k为某常数，则下列结论正确的是()fff(A) x y z xyzkt f x, y, z(B)fxxfy一 yf zzk jt f x, y, z(C).fxxfz zkf x, y,z(D).y z 一 y zx, y,z29.已知I,2cosysin x2 d ，其中D是正方形域：01,0 y(A).2 (C).0I 2(D).30.x,y24xyyf u,v dudv,其中Dx, x0,以及y1围成在，则fxy x, y(A).4x(B)4y(C). 8x(D).8y31.x,yDix, y22y a ,y0, x 0，则下列命题不对的是：()(A).2 .x yd2.x ydDi(B)2 .x yd2 .xy d(C).2 .xy d2 ,2 xy dDi(D).32.f x, y是连续函数，当t0时,x2y2ft2(A).2(B)(C).0(D).一cos33.累次积分 2 d00f r cos ,r sinDxy2d0x, y dxdyrdr可写成()Dit221 y y(A) . dy f x y dx0011(C). dx f x, y dy(D).0011 y2(B) dyf x, y dx001 x x2dx f x, y dy0034.函数 f x, y 4 x y22x y 的极值为()(A).极大值为8(B).极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0(A). 1(B)236.ex y dD35.函数zxy在附加条件x y 1下的极大值为(1 (C).1 D . 12 4，其中D由x y1所确定的闭区域。1_1_2_(A). e e (B). e e (C). e e (d).o37.I1 (x y)3dxdy与12D,、222(x y) dxdy ,其中 D：(x 2) (y 1)D2的大小关系为：（）。(A).I1 I2 (B). I112(C).IiI2 （D）. 无法判断38.设 f (x, y)连续，且 f (x, y)xy2f(u, v)dudv,其中 D 由 y 0, y x , x1所围成，则f （x, y）(A).xy (B). 2xy(C).xy(D).xy39.5 x2y2d的值是（(A)40.(A)41.(A) 042.(A)43.(A)44.(A)45.(A)46.(B)(C)1041di6y 1所围成区域，y dxdy(B) 0半径为a均匀球壳（(B)2 a4设椭圆L ：l (B)3l下列级数中收敛的是4n8nn 18n(D)1011D1是由直线(C)1和x轴，y轴所围成的区域，则1 x y dxdyD2dix y dxdy(D) 21）对于球心的转动惯量为（(C)(D)6 a4(B)下列级数中不收敛的是（1ln(1 )n 1n下列级数中收敛的是11 nn/n（A）如果(B)(B)1的周长为l2y)2ds(C)4l(D)12l8n4n8n(C)2n13n(C)n 1 n(n 2)un为正项级数，下列命题中错误的是（1limn(D)2n 4n8n(C)，则 un收敛。n 1(B)1n(n 2)(D)3n ( 1)n4n3n2n(D)(n1)(n 3)limnun 1un发散1un 1 d(C) 如果1 ,unun收敛。(D)如果un 11 ,则u n47.下列级数中条件收敛的是（）发散1(A)n 11(1)(B)n 1nn 1(1) (Cn 1 n(1)n-1 nn(D)1(1)nn 1n(n 1)48.下列级数中绝对收敛的是(A)(1)n 1(B)(1)n1(C)49.(ann 1(A)必同时收敛50.级数ann 1(A)(C)51.(A)52.(A)(C)(D)53.(A)54.(A)(B)(C)(D)ln n(1)n1n、. n(D)bn)收敛时,an与nbn(B)必同时发散(C)可能不同时收敛(D)不可能同时收敛(1)n12 n ln n2收敛是级数ann 1充分而不必要条件充要条件an为任意项级数，若 ann 1条件收敛(B)绝对收敛下列结论中，正确的为函数4收敛的(B)必要而不充分条件(D)既非充分也非必要条件an 1且lim an 0,则该级数( n(D)敛散性不确定发散，则收敛，则f(x)Pnanananan1发放(un 0)；1 un(B)若un收敛，则1发放(un 0) u n(u n1vn发散，则n 1(un Vn)发散11一-,的麦克劳林展开式前二项的和为(1 xx ;4an | an |2(B) 1条件收敛，则绝对收敛，则条件收敛，则绝对收敛，则x 3 2_ _ x ；2 4 an |an |(C) 1PnPnPnPnqnqnqnqn,n 1,2,3,，则下列命题正确的是(都收敛;都收敛;的敛散性都不定;的敛散性都不定.n1n1n1%=(-1尸侬1+)55.设“依，则()3343口I(A) a_l 与H 都收敛.&9Z%W(C) K-1 收敛，而 $1 发散.00.(8) a-1 与js-1都发散.0Op(D) H-1 发散，U-1 收敛56.75、若DM-l在 K =-2处收敛，则此级数在 五二一1处(A)条件收敛(B)绝对收敛,(C) 发散,(D)收敛性不确定57.设号级数(A)(-2, 4)58.若幕级数nanX1(D)的收敛半径为3,则号级数(B) -2, 4的收敛半径为R ,则号级数2 R, 2 RM-lann 1的必定收敛的区间为(C) ( -3, 3)(D)(-4, 2)2 n的收敛开区间为()(A)R, R(B) 1 R, 1 R (Qn59.级数x 5)的收敛区间vn(A)(4, 6)(B) 4,6(C) 4,6(D) 4, 660.若级数n(2x a)的收敛域为2n 13,4 ，则常数a =(A)(B) 4(Q 5(D)以上都不对61.若幕级数,n qan x 1 在 x1处收敛，则该级数在(A)条件收敛(B)绝对收敛(Q发散(D)敛散性不能确定62.函数f (X)x2e 展开成x的幕级数为(A)2nXn!(B)n 0n 2n(1) X(C)xn(D)(1)nn!0 n!n!463.函数X展开成X的幕级数是1 X2(A)2nX(1)nx2nn 1(C)64.下列各组角中,可以作为向量的方向角的是(B)2nX(D)n 2n(1) x233(C) 一，62(D)365.向量aax,av,az与x轴垂直，则（）x y z（A）ax0(B)ay az(D)ayax66.设 a1,1, 1 ,b1,1,1（A）a/b（B）a(C)a,b9a,b67.直线x 2y2y z与直线11、关系是（ ）1(A)垂直;(B)平行； （C）重合;(D)既不平行也不垂直.68.柱面x0的母线平行于（A）y 轴(B)X 轴(C)(D) zox 面69.设 ac, a, b,c均为非零向量,则（A）b(B)a/(b c)(C)(b c)(D)70.函数zlnxy的定义域为（）(A)X 0, y(B)0,y0,y(C)x 0, y(D)0,y0,y71.f X, yxy则yf -,1x(A)xy22x y(B)(C)72.下列各点中，是二元函数(A)3, 173.1dx0J1 X2(A)74.设D是由x(A)75.设D是由0xy(D)f x, yx3y3(B)(B)1,0(B)3,12 ,y dy (C)1所围成的闭区域，则(Q3x23y(C)1,132 .xy dxdy16所确定的闭区域，则2X1 x49x的极值点的是(D)(D)一61, 1(D)0ycos xy dxdy(A)2(B)2(Q1(D) 0三、计算题1、下列函数的偏导数(1)4 26x y22 z x ln( xy2)；(3)xy(4)z sin(xy)2 /、cos (xy)；(5)ex(cos yxsin y)；(6)z tan.x sin 一yy cos ；x(8)(1 xy)y；(9)ln( xIny)；(10)(11) ux(x ez2)(12)(14)xyz(15) Uaixi(aj为常数)；(16)(17)ex 2ysin t, yex 2y2.设3.设f (x, y) xxz ey ,验证2x 4.x求下列函数在指定点的全微分：(1)(2)f (x, y) f (x, y)c 23x yln( 15.6.7.(3)f(x,y)sin xy求下列函数的全微分:(1)(3)(5)验证函数验证函数,x yarctan；1 xyyxzi,jajxiyj1x sin(13) Uaijt, ya ji且为常数。, d zt ；求 dt2xy2fx(3,4)及 fy(3,4)。，在点(1,2)；2y )，在点(2,4)；(0,1)和-,24(2) zxyxye ；x2(4)(6)f (x, y)xy20,f(x, y)(x2)sin x0,但它在该点可微。8.计算下列函数的高阶导数:y(1)z arctan -，求 xln(x22y2 y0,在原点(0,0)连续且可偏导，但它在该点不可微。的偏导函数fx(x, y), fy(x, y)在原点(0,0不连续,(2) Z(3) z(4) U(5) Z(6) Zy3 z一，2y x y2 z2-2 y2zxsin(x y) ycos(x y)，求一2 x3xy + zxe ，求 x44ln(ax by cz),求 V, 2 Z 2 x x yp qz(x a)p(y 3、求一； x y-22、1tan(3t 2x y ), x -, y t3asin x ,求 d u ；9.计算下列重积分(1)其中口是矩形闭区域：(2)"(V +三,其中口是矩形闭区域：, QMyMl力(3)，共。阳工,其中口是顶点分别为(0,0),(凡和缶尸)的三角形闭区域./) (4)，其中是由两条抛物线y “(F , y工&所围成的闭区域.(5)，其中o是由|x *D|y|所确定的闭区域.(6)改换下列二次积分的积分次序否。(? +J炒(8)(9)廿db,其中是由圆周工24y3 =4所围成白区域.（10）JJlflQ4k+F找6其中工）是由圆周工3+”二=及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域(11)(12)1一, -y./叮，其中 上）是由圆周 工3 +/ _ |及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(13)十泗乩T ,其中Q是由直线尸二x ,1y=艾+4，y = i，y-sg >o）所围成的闭区域.其中口是由直线丈二2，y二工及曲线孙二1所围成的闭区域(14)小炉+/T其中 口是圆环形闭区域：/ 工匕婷J）(15)（工一"厂也“工土）疝中，其中是平行四边形闭区域，它的四个顶点是（/。），（讥，幻，（三加）和（。,招）.(16)U犬大的，其中q是由两条双曲线xyJD二1和xy = 2，直线y 二天 和y = 4大所围成的在第一象限内的闭 区域.(17)卜/#高豕其中Q是由工轴，尸轴和直线 了 + 了 =所围成 的闭区域(18)q为椭圆形闭区域工(19)化三重积分I = JU久30/工的电为三次积分，其中积分区域Q分别是及平面2 =所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。由曲面必=中（c>0）,=1,工=Q所围成的在第一卦限内的闭区域(20)计算dxdydz，其中口为平面五=0, y=U，z =。，工+ y + z = l所围成的四面体.(21)计算JJJt双分M仪曲,其中 且是由平面工二口，z = y , 1y = 1，以及抛物柱面y 7所围成的闭区域.(22)计算也,其中。是由锥面与平面 _ h（R >0#）3 所围成的闭区域.(23)利用柱面坐标计算下列三重积分依,其中 Q是由曲面 一 J2*_/ 及 n"(2)川（/斗出的 ,其中口是由曲面(24)利用球面坐标计算下列三重积分Q是由球面1口=所围成的闭区域.(2)依 ,其中闭区域 Q 由不等式 a/+/ + 0 -4>卫/， 1寺/二所确定.25.选用适当的坐标计算下列三重积分川野加,其中 为柱面 13+"二=及平面._,-, ?l _ ; , .；所围成的在第一卦限内的闭区域(2)UJ J犬+尸1+工工小1，其中iQ是由球面X/+7上+1 工2所围成的闭区域川4 +川的，其中口是由曲面 n4y = 25（产 +,口） 及平面z = 5所围成的闭区域.(4)川6+”）的,其中闭区域口由不等式0<rM /产十十w2<A > 0所确定.26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)/ +/ +71 = 202 (津 A。)及/4y3 片（含有Z轴的部分）. 、 - - -二.曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分壶，其中上为圆周, y = &例12（0二上三2用）(4)J （x+yldm，其中 上为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段与壮白,其中 工为由直线1y=x及抛物线工口所围成的区域的整个边界.日护耳壮，其中 匚为圆周 E=九直线1y二兀及或轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界 LL5/*,其中为曲线 二 ，c心融，p，2=屋上相应于打 x +y +z从0变到2的这段弧.（6） ，其中为折线 乂 BCD，这里 A S C D 依次为点（0，0，0），（0，0，2），(1,0,2),(1,3,2).1y"ds，其中上为摆线的一拱式 = "（-sm上），y。3上）（0S 2密）（8） g 4-y2 ）tfc，其中上为曲线K =靠（8式+上沏） , y =讨回"心st）（0W上工2帝）2.计算下列对坐标的曲线积分J （炉一购,其中 工是抛物线y x2上从点（0,0）至爪点（2,4）的一段弧, Kydx,其中 上 为圆周（五一厘尸 4y 3 =4、（口 口）及拜轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行