05第五讲-大数定律与中心极限定理.doc

第五讲 大数定律与中心极限定理考纲要求1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）.3.了解棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）.问题1 何谓切比雪夫不等式？答 设随机变量的数学期望和方差存在，则对于任意，有或者.利用切比雪夫不等式，可以用估计事件的概率.例 1.设随机变量和的数学期望分别和，方差分别为1和4，而相关系数为，则根据切比雪夫不等式，有 .解 ，根据切比雪夫不等式，有.2.设随机变量的数学期望为，方差为，试何用切比雪夫不等式估计.问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理.答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列的算术平均值，得.若，则有.称随机变量列服从大数定律，并称依概率收敛于.切比雪夫大数定律：设随机变量相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则.辛钦大数定律（独立同分布的随机变量序列的大数定律）：设随机变量独立同分布，它们的数学期望和方差存在，则.伯努利大数定律：设随机变量，则.伯努利大数定律对频率的稳定性给出了理论上的证明.例 设随机变量独立同分布，且，则当时，依概率收敛于 . 解 由独立同分布的大数定律知，依概率收敛于它的数学期望.问题3 何谓中心极限定理？叙述列维林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）和棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）.答 概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的定理，称为中心极限定理. 独立同分布的中心极限定理（列维-林德伯格定理）设随机变量独立同分布，它们的数学期望和方差存在，则.本定理指出：当充分大时，近似服从，因此，可以用正态分布计算有关和的概率.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设随机变量，则.本定理指出：当充分大时，近似服从，因此，可以用正态分布计算有关二项分布的概率.例1. 随机变量独立同分布，且服从参数为4的泊松分布，是其算术平均值，则根据中心极限定理有 . 解 由中心极限定理知，近似服从，.2.某单位有200台电话机，每台电话机大约有5的时间使用外线通话，问该单位总机至少需安装多少条外线，才能以90以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用？【14】解 同时使用外线的电话机台数，由中心极限定理知近似服从，设该单位总机安装条外线，可以使，则，故该单位总机至少需安装14条外线.3.一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977?(0.977)(01-4)解 设每辆车装箱，表示第箱的重量，则，由中心极限定理知，汽车载重量近似服从，为保证不超载的概率，则，即，故最多可以装98箱.29