数分选讲讲稿第26讲new.doc

讲 授 内 容备 注第二十六讲5.2 函数项级数2利用准则判断一致收敛性例9 设为上的可导函数列，且在上有是不依赖于和的正数证明：若在上收敛，则必为一致收敛证在上收敛，当时，有故当时，介于之间取，则时，对上每点都采用上述步骤，当，且时，有如此组成了的一个开覆盖由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖不妨设为令，则当时，有由收敛准则知，在上一致收敛例10 求证级数在的邻域内非一致收敛证 考虑，注意到只要在的邻域内证明某常数即可时，所以只要保持则如此只要取，从而即所以，对，有故级数在的邻域内非一致收敛例11 证明：在上非一致收敛证，当时，所以通项该级数在上非一致收敛3利用常用的判别法证明一致收敛性判别法：关键是找优级数，常用的方法如下 求在上的最大值； 利用已知的不等式； 利用公式，微分中值定理例12证明：在上一致收敛证令得稳定点：比较知为在上的最大值如此而收敛，所以在上一致收敛例13 证明：在上一致收敛证 在附近，有，当充分大时，有且收敛，由判别法知，原级数在上一致收敛例14 证明：在内一致收敛证 ，有而收敛，由判别法知，原级数在内一致收敛判别法与判别法判别法：若 满足 在上一致收敛； 一致有界，且对每个固定的关于单调则在上一致收敛判别法：若 满足 关于与一致有界； 对每个固定的关于单调，且时，于上则在上一致收敛例15 证明级数：在上一致收敛 证 当时，当时，于是对一切，均有（一致有界）对每个固定的关于是单调递减的，且 即当时，于由判别法知，在上一致收敛例16 设级数收敛证明：级数 在时一致收敛证收敛，在时一致收敛当时，一致有界且当时，对每一个是单调递减故由判别法知，在时一致收敛例17 设均为常数级数收敛试证：在上一致收敛证 收敛，自然关于一致收敛； ，即一致有界当时，即关于单调，（对固定的）由判别法知，在上一致收敛例18 证明：在任何有穷区间上一致收敛但在任何一点处不绝对收敛证 由知，该级数在任何一点处不绝对收敛下证第一个结论 ，即关于与一致有界； 即对任意的关于单调；时，其中因此当时，于上由判别法知，在上一致收敛例19 证明：在内一致收敛证在使用判别法时，可先用判别法证一致收敛性 ，其中关于单调，；，即关于与一致有界； 据判别法，只需证明在内一致收敛i），所以在内关于与一致有界；ii）在内关于单调递减，即在内，且，于是据判别法知，级数在内一致收敛综合，据判别法，命题成立二、一致收敛级数的性质1关于逐项取极限例20 （逐项取极限定理） 设级数在的某个空心邻域 内一致收敛，则收敛，且证设 ，若，即证 在内一致收敛，当时，对，有令，得由收敛准则知，级数收敛（为某个常数）由一致收敛及的收敛性知，当时，对，有将暂时固定，故对，当时，从而 即 即 例21 假定函数在区间内单调增加，且又假定级数在内逐点收敛，并且有上界那么在内一致收敛，并且证只要证明在内一致收敛，并且极限存在先证明存在已知又收敛并且有上界所以，使得 而在区间内单调增加，故存在记，则在内有再证在内一致收敛为此只需证明收敛即可令，得，故由正项级数的判别法知收敛从而由判别法，在内一致收敛3学时从局部性质延拓到整体性质至此不能说明一致收敛，求在上的最大值利用已知的不等式利用公式注：使用上述二判别法，关键是将通项写成两个因子相乘，使之符合判别法的条件本例说明一致收敛不意味着绝对收敛11