数分选讲讲稿第27讲new.doc

讲 授 内 容备 注第二十七讲5.2 函数项级数2和函数的连续性和函数的连续性定理有如下三种形式定理1 设函数 在区间上连续， 在上一致收敛则在上连续定理2设 在处连续，在的某个邻域内一致收敛则在处连续定理3设函数在区间内连续，在内闭一致收敛意指在内的任一闭子区间上分别一致收敛则在内连续例22 设在区间上连续，在内一致收敛求证：在上一致连续证在上连续， 在内一致收敛由例题20知，可逐项取极限所以在处收敛设在内一致收敛，当时，对有又因为与收敛，对上述对上述，当时，当时，取，当时，对有即在上一致收敛据和函数连续性定理1知在上连续再由闭区间上连续函数定理知在上一致连续例23设是内的一个序列：，且试讨论函数在内的连续性解且收敛由判别法知在内一致收敛设为内任意一点则通项在处连续由及和函数连续性定理2知，在处连续设是中任意一点右边第一项在处连续，第二项在处间断所以处间断例24 证明：在内连续证 ，考虑内闭区间由根式判别法知，收敛所以，在上一致收敛由的任意性和定理3知，在内连续例25证明：在内非一致收敛证当时，当时，级数是无穷递缩等比级数，即在处间断因此，该级数在上非一致收敛（定理1：一致收敛的必要条件）假如在内一致收敛，在处收敛同例22的证法，可知级数在上一致收敛矛盾.因此，原级数在内非一致收敛注：利用和函数连续性定理，可推断非一致收敛3和函数的可微性与逐项求导若函数项级数在区间上满足： 1）在区间上收敛； 2）在区间上有连续的导数； 3）在区间上一致收敛（或在的任意内闭子区间上一致收敛）；则 在上可微，且例26证明：在内收敛，但不一致收敛而和函数在内可微证，且收敛，所以在内收敛，当时，在内级数通项即在内不一致收敛在内连续，在内连续，有而收敛，所以在上一致收敛，在内内闭一致收敛故内可微，且例27 证明：在内一致收敛但证 故有，当时，对有于是于因此两个极限不相等4逐项积分与积分号下取极限1）若（i）在区间上一致收敛； （ii）在区间上连续；则 2）若不满足逐项积分的定理时，要证明： 则关键在于检验是否有 其中为级数的余和3）积分号下取极限若函数列在上一致收敛，且每一个在上连续，则例28 设在上连续又对中任意的和正整数，有其中为常数求证：证在上连续，必一致连续，当，时，有取充分大，使得将等分：由已知条件由中值定理，使得于是，必属于某一个小区间故于上，于是有于上，且 在上连续所以，可在积分号下取极限，得例29 证明：数列在闭区间上收敛而不一致收敛，但证先证在上收敛当时，对，有当时，因此，再证在上不一致收敛取满足：取，就有所以，当足够大时，因此，在上不一致收敛而例30 设及在上有界，可积，且，当时，于上试证：分析 已知因此要证明只需证明即证将积分拆成两项，可见当充分小时，第一项能任意小将固定，于上，所以，当充分大时，第二项能任意小证，当时因此其中，当时，又在上，当时，有取，当时，有 即例31 试证级数在上不一致收敛，但在上可逐项积分证当时，时，时，为等比级数，其和函数而在上连续所以该级数在上非一致收敛证明能逐项积分其中，且 在内连续，所以 在上有界 ，使得故从而所以级数可以逐项积分3学时11