等差数列的前n项和公式.doc

等差数列的前n项和公式一、教材分析（一）在本章中的地位与作用“等差数列前几项和公式”是数列一章中的重要基础知识，无论在知识上，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。推导等差数列前n项的“例序相加法”是今后在数列求和的一种常用的重要方法，公式又有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础知识，且能体现解决数列问题的通性通法，又可考察运算能力和推理能力及等价转化，函数方程，数形结合的重要数学思想方法，因此，等差数列前n项和公式在数列一章中具有极为重要的位置，也是高考命题热点。（二）高考要求及命题特点：要求学生会推导，证明、应用等数列的前n项和公式，高考中主要在选择题、填空题中出现。难度在容易题或中档题，有时出以解答题形式出现，难度中等，重点突出公式的推导方法的应用。二、知识结构分析本节内容是等差数列前n项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出等差数列前n项和的思路，而后导出了一般公式，并加以应用，再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题。本节例题设置了4个例题，10个习题，6个练习题。例1是已知a1，an，n求sm，用第一个公式，一方面解决了前一节中提出的问题，另一方面让学生体会，一个运动员要取及好成绩常要付出艰辛的劳动，启发学生在学习上要取得好成绩，也要加倍努力。例2相当于已a1、d及sn，求n。体现方程思想。突出a1、d、sn、n中知三求一。结合例1，说明五个量中知三求二。例3体现了不等式，集合、数列的关系，引导学生从集合语言中通过解不等式和等式的正整数来确定集合中元素的个数，从而确定数列中的a1、an及n。例4体现方程思想，利用已知求出a1、d从而利用第二个公式求出Sn。进一步发散让学生体会等差数列前n项和公式特征，使学生体会数列与函数的关系，进一步联系简易逻辑及出数列是等差数列的重要条件。练习题及习题充分体现了等差数列前n项和公式的推导方法的应用，公式的直接应用，变形使用以及解决实际问题中的应用。三、教学目标分析1、掌握等差数列前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题（1）了解等差数列前n项和的定义，了解倒序相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，在等差数列通项公式和前n项和公式中涉及五个量，已知其中三个量求另两个量。（3）会利用an、Sn来研究Sn的最值问题。2、通过公式的推导及应用，使学生体会到从特殊到一般，再从一般到特殊的思想规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法。3、通过公式的推导过程教学，对学生进行思维灵活性广阔性的训练，发展学生思维水平。4、通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过有关内容在实际问题中的应用，使学生再次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识解决问题。四、重、难点分析重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。难点：公式推导和思路。五、教法建议：（）本节内容分为两课时，一节为公式的推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前n项和公式综合应用。（）前n项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活。另一方面突出推导的方法以及思路，可适当引导学生进行自己探索，让学生体会到成功的喜悦。（）强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法。（）补充等差数列前n项和公式的特征，进一步解决等差数列前n项和的最大值，最小值问题。六、教学设计示例：等差数列前n项和公式（）目的：1、掌握等数列前n项和公式的推导思想；2、灵活运用等差数列的前n项和公式解决一些简单问题重难点：重点：等差数列前n项和公式及公式的应用难点：1、等差数列前n项和公式的应用2、灵活运用公式解决一些简单问题一、过程设计：1、复习1、等差数列的意义：anan1=d (n2，n N+)2、等差数列的通项公式：an=a1+（n1）d或an=a1(nm)d3、几种计算公差d的方法：d=anan1 4、等差数列的性质：m+n=p+q am+am=ap+aq(m、n、p、q N)二、引入1、数列前n项和的定义数列 中，a1+a2+a3+an称为数列 的前n项和记为Sn。2、（1）在上节中，已知某长跑运动员7天里的训练量，那么这位长跑运动员7天共跑了多少米？（2）在一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面放了10支，问共有多少支铅笔？这一节我们就来解决等差数列的求和问题（板书、课题）三、新课大家都听说过小高斯的故事，高斯10岁时，他的数学老师问了这样一个问题1+2+3+100=？其他同学忙着用笔在纸上计算，而小高斯却很快求出他的结果，你知道他是怎样计算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101第2项与倒数第2项的和：2+99=101第3项与倒数第3项的和：3+98=101第50次与倒数第50项的和：50+51=101一共有50个101，于是求的和为：10150=（100+1） =5050上面的问题可看成是求等差数列1、2n的前100次的和，请同学们分析一下高斯求和的过程中用到了什么样的方法和等差数列的性质。教师归纳：解答过程中a1+an=a2+an-1=ak+an-k1-1sn可用a1、an及n来表示再请同学们来解决引入中的第2问，检验它是否正确，若将以上数列换成一般的等差数列，情况怎样呢？1、等差数列前n项和公式设等差数列 的前n项和为Sn思路1：Sn=a1+a2+a3+an，把项的次序倒过来及 Sn=an+an-1+an-2+a2+ a1+（an+a1）+=an+a1 即 思路2、由等差数列 的通项公式，Sn可写成Sn=an+(a1+d)+(an+2d)+a1+(n-1)d，把项的次序倒过来，Sn=am+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d+（a1+an）=n(a1+an)归纳：等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半，现在用公式来计算：1+2+3+100=？1+2+3+(n-1)=？由于an=a1+(n-1)d，请同学们将an的公式代入公式简后及到 或sn=a1+a2+a3+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+an+(n-1)d=na1+1+2+3+(n-1d=na1+ 小结：我们知道了两个计算等差数列前n项和的公式，由公式知，只要知道a1、n、an、d这4个量中的三个，就可以求出数列的前n项和。2、例题讲解例1某长跑运动员7天里每天训练量（单位：m）7500800085009000950010000105000这位长跑运动员7天共跑了多少米？分析这位长跑运动员每天的训练量构成怎样的一个数列？这个数列中哪些量是已知的？怎样求和？解（略）例2：等差数列-10、-6、-2、2的前多少项的和是54？分析：这里相当于已知a1、d及Sn求n，可设Sn=54由等差数列前n项和的公式可列出关于n的方程，求这个方程的正整数解，如果关于n的方程无正整数解，那么，这个等差数列的前n项和不可能是指定的数。（选例）例3：已知等差数列 的奇数次和为51，偶数次和为42 ，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式。解法一：设这个等差数列含有n=2m+1项，依题意有S奇=a1+a3+a5+a2m+1=51 S偶=a2+a4+a6+a2m=42 即 S奇= S偶= 解约 m=5 am+1=8 又 即an=16由an=a1+10d 有16=1+10d 及d= （1n11，nN）解法二：由+得 由及S奇-S偶=a1+md=am+1=8 由的 m=5 am+1=8 四、课堂练习：教科书P118练习1，2五、小结：这节课主要学习等差数列前n项和公式，同学们要把握公式的推导思维，熟练运用两个求和公式解决相关问题。六、课后作业4