偏微分方程数值解法答案.docx

1 .课本p2有证明2 .课本P8, P12有说明3 .课本Pi5, P20有说明4 . Rit2法，设Un是u的n维子空间，啊，邛2.九是Un的一组基底，Un中的任一元素Un可 nii nn表为 Un = ci中 i ,则 J(Un) =7a(Un,Un) (f ,Un) =L a(*,%)Gq 二 Cj(f 阳 j)是 i 122 i, jj=iC1,C2.Cn 的二次函数，a(5 iWj)=ajWi),令 J=0,从而得到 G,C2.Cn 满足 二 Cj nnE a"$)C =(f *), j =1,2.n,通过解线性方程组，求的Ci ,代入Un = Ci?,1 1id从而得到近似解Un的过程称为Rit2法n简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解， Un = Ci* , i 11 1 nn利用 J(Un) =8a(Un,Un) -(f ,Un) = J Z 2(*,%)0,Cj ( f ,% )确正 G，求信近似斛 Un 的2 2 i,j 1j W过程nGalerkin 法：为求得Un =Z Ci*形式的近似解，在系数Ci使Un关于V w Un ,满足i =1a(Un,V) =(f,V)，对 任意 Vs Un 或 ( 取 V=%,1MjMn )nnZ a(*,*)Ci =( f ,*), j =1,2.n的情况下确定c ,从而得到近似解un=Z ci*的过程称 i 1i 1Galerkin 法为nRit2-Galerkin法方程：Z a(中i，)q = (f，)i 15 .有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。6 .解：对求解区间进行网格剖分，节点a = x0 <%. < x <. < xn = b得到相邻节点x1,xi13之间的小区间Ii=x,Xi, hi =Xi X，由节点上的一组值 Uo =0,U1,U2Ui ,按线性插值公式Un(x) = X _XU+X Xi Lui " x W Ii ,i =1,2n确定试探空间Un ,令hhi"(X)=T1把Ii变到轴上的参考但愿0,1令N0(句=1- " N1(4 =占则:Un(X)=N0U)ui+N1(E)ui, XW Ii(3 将带入该函数1 b 22J(u) (pu qu -2fu)dX2 a得到:1b 221.n22.nJ (Un)( pu qu _2fu)dX 二一 (pUn qUn )dX 二 I fUndX2 a2 ijiiji带入Q可得J(Un)=1 n 1(U -U-)22p(Xi-1hi)- hq(Xi_1hi)(N()uN()Ui)d2 - 0hn 1一、hi . f(Xihi )(N0( )u刈()Ui)dJ(un) 令M 其中=aj,ju jajj uj aj 1,ju j 1 _ bj = 0aj4,jaj 1,j1=0力”七鹏)5秘二)(1一)口”-hj Jp(X +hj/) + hq(Xj +hj 内31fd：aj,j1 d1.=0-hjP(Xj/hj)hjq(XjJhj) d0泪 1P(Xjhj1 )hjiq(Xhj1 )(1 -)dbj =hj f(Xj JN)d + hj*f(Xj+hj$(1")d自从而得到u1，u2,，Un的线性方程组！7.矩形剖分假定区域 C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖分基函数的取法(1x - xiAx|0,(others)(1 -y-yi),(x, y)Rj其中Rj是以(为,yj)为顶点的矩形单元Ax,3>0为Rj的底和商的长度。8 .何为三角剖分，基函数怎样取？三角剖分：设 G是多边形域(否则可用多边形域逼近它)，将G分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G分割成三角形网，称为 G的三角剖分。基函数的取法：通过构造Lagrange型插值公式可以得到基函数的取法。不妨以 P(x,y)是一次多项式为例，得到 P(x, y) = L1N1 + L2L + L3N3,其中Li是相应于节点1的基函数在上的限制(具体的过程，可参考课本：P57 P 58)9 .题，参考课后习题 P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程10 , 11题不会。 在此将14题推导过程介绍如下：12.对Possion方程-AN = f (x, y),建立五点差分格式，并估计截断误差。取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2,沿x,y方向分别用二阶中心差商代替，则-1-21 -2加为=-r三+323= fij (五点差分格式) h1h2j式中四表示节点(i,j) 上的网函数。令n(x, yj) = %fn(xi, yj) = fj = f (x, yj)利用Taylor展式有N(x+,yj) 2N(x,yj)+ N(x, yj) h2叫x,yj2 -2N(x,yj) +Wx,yj)h2& N(x, yj)1 h2 色 N(x,yj);x212f x442H(x, yj) h； I4巴x,yj), D ，-2-y412 cy.星工U(成)6_ 6_ 6_6360 二 y截断误差为1二4.-4Rjl)=也为,力)一与气。力)=-+卜；% +口”) + 口”2)12二 x二 y13. 对possion方程建立，极坐标形式的差分格式poission方程的极坐标形式为(二):； =f( R：2 -2其中 二x2 - y2tan - y 0 _ _ ：0 二 2二x利用中心差商公式i .1i 1,j2-(i 1 i 1)% i 1 22i,j2h2r 1 ；：21F 72( i，q)i,j 1 -2i,j -i,j 1h2将两式代入式得V i.1 i 1 i1,j-12Yi-Ji)22h2i J T，j21口i,j 1 -2i,j ,口i,j-2ih2 = f( i，”即 poission方程极坐标形式的差分方程。14.解：将uk+1,uk-1,Ujk+1,uk-1按照Taylor在uk处展开整理得到其截断误差为在 Richardson格式（4.1.10 ）中以叫=：（*-叫）代入，便得Du Fort Frankel格式:(：1 - 1丁)2可十丁 -丁）/n-ah2-1.ft22史 ft213；6ft1 ，二4五 丁（XjFn）j: 1 二 j;-1.2Ft2.:t26ft31 ，二 4丁4丁）Jn1川jj2二 1.-：t2 f3 ft3（省去了 T 2的商阶无穷小）从而得到了微分方程左边的误差2 f3 fl包2立. 2% .224-x2h二 t 12 二t二t同理可得微分方程右边的误差：1 4 ；：4 ah2 F4,、2 a 4 ：4J- ) =7 3( - )1 二712ft412 ：:t4h：:t212h2 ft4_2 .4从而得到e=a(一)2(.2 - h2)-.()h ft2h415 .用Fourier方法讨论向前差分格式的稳定性。解：向前差分格式 uk+1 = ruk+i +(1- 2r)uk +ruk-i。以 uk =vk ex pa(jh 饿入得 vk+1 exp(ia jh) = r exp(ia( j +1)h) +(1- 2r)exp( ia jh) + r exp(ia( j - 1)h)vk 消 去 e iax jp h 则知增长因子_， 、一 八、，.，、，.，、，、. 2 ah ,C1=(xp,t) = (1-2r) + r(exp(.h)+exp(-iah) = 1-2r(1-cosah)=1-4r.n $平在0, k中分布稠密,(随h?0)为使C/t)满足von 22件,11必须且只须网比r,所以向前差分格式的稳定性条件是r 2216 .用Fourier方法讨论向后差分格式的稳定性。解：对向后差分方程ujn+1ujn+1. n+1 ,n+1uj+1 - 2uj + uj-1h"利用Fourier方法分析器稳定性，整理nat n+1 at n+1 at n+1atn n得：uj =(1 + 2)uj - -uj+1 - uj.1 o r = ,uj =v exp(iajh)代入得到：h h hhvn exp(ia jh) = (1 + 2r)vn+1 exp(ia jh)- rvn+1 exp(ia( j +1)h) - rvn+1 exp(ia( j - 1)h)消 去e x ia (j h则增长因子为向后差分方程是恒稳定的。11 + 2r- r(exp(iah) + (exp(-iah)1 +4r sin2ah? 1。所以17 .用Fourier方法讨论六点对称格式的稳定性。 n+1 nnn n n+1n+1n+1u - u 1 ui+1 - 2ui +ui_1 ui + 1- 2ui +u j. 1解：六点对称方程的格式为L = a2L1 (上2一1+上2j-1)。令t2 h2h2un = vnexp(ia jh ) 代 入 得vn+1 eax i p -j (h/ne ) ax ip =jh a2t2v exp(ia( j+1)h)-2v exp(iajh)+v exp(ia( j - 1)h +v exp(ia( j +1)h)- 2h2 2vn+1exp(ia jh)+vn+1exp(ia(j - 1)h。消去 e xiap j( h导增长 因子为2.2atat.22ah2-(cosah-1)+1 1 -2-sin -也>=一h2 ? i。所以六点对称格式是无条件恒定的。a2ta2t22ah1- -(cosah-1) 1 + sin -h2h2218 .证明：利用Fourier方程将两端同时做变换。k kUj =v exp(iajh)得vk 1 exp(ia jh)-vk exp(ia jh) t=avk exp(ia( j +1)h)-2V k exp(ia jh)+v k exp(ia (j-1)h)h2vk exp(ia(j +1)h)-v k exp(ia( j-1)h) k+bcvexp(ixjh)2h长 因exp(ia jh )1-sin hk+1 kUj -Ujl=ak+1 c k kkkUj -2Uj +Uj-1 Uj+1 - Uj-1 kJ-L1+b jj-1+cuk(a>0)的充要条件是h22h jat q 12-一h222at 2ah btat _ 1 一+sin ah-ct ,由von-Neumann条件可得 f 一.即差分格式 2 hh 219 .讨论三维热传导方程向前差分格式的稳定性n+1 n解：三位热传导方程为(向前差分格式).m-jkm = -a2-(d 2unkm+d yUnkm +d 2ulnkm)t h取通项 unkm = vn exp(i (axj + b yk +hzm),a =2p-p ,b =2pq ,h=-2p-g 代到上式消去公因子得 vn+1 = (1- 4r sin 2ah - 4r sin 2bh - 4rsin 2hh)vn, r = at2-。从而增长因子为222hc1 = G(ah, bh,hh) =1 - 4r(sin2ah+sin2bh+ sin2_hh)为使 | g |=1+O( t )必须且只须 222r %。当r %时三维热传导方程的向前差分格式稳定。20.讨论三维热传导方程向前后分格式的稳定性n+1 n解：三维热传导方程的向后差分格式为：ujkm-ujkm =卷92靠+初常+制)t h2 j取通项 Unkm =vnexp(i( xj + Pyk + nZm), 口 =平，p =q, "=?,带入上式，消去共I1因子得： 2T；E W1。恒成立1 4r(sin -21 sin 京 sin 5)所以三维传导方程向后差分格式是无条件稳定的。21.三维传导方程的 PR格式为：n -3nr 2 (ujkm u jkm )1222 n(1-x) l= x + 6y 十电)Ujkm (1)22 hn H2n 噌ujkm 一 ujkm1n n 3 nl= TT (ujkm - ujkm)2hn 1 n 3ujkm ujkm 12 , n 1 n 、l22 :iz (ujkm - ujkm)(3)2 h(2)(3)合称PR格式。22.将(1 黄卜/消=(1 +?：)也(1 一2切 unkm2 =(1+2)unkm3% r . 2 n 1 % . r . 2、n ；(1z ) u jkm = (1x)ujkm22将 U j黑=vnexp i (BXj + Pyk +“Zm)带入上式得2 ：h2 h2 h(1-2rsin2)(1 -2r sin2)(1-2r sin2)G(h,Ph) =22-2-对任何 r>022 h2 h(1 2r sin2)(1 2r sin2)(1 2r sin2)222n 13 n| G I E1.所以(1) ujkm ：ujkm =4eX +6： +6；) U；km绝对收敛。 2l h23解：un1 =un联?*w法区外)(1)un4 =u： 7 1 1-fu 2fV(xj, -2tn)(2)un 1 =u：，h 号，号，J24T (3Xj,tn)un 4. =un -h-：u，-.Xu 24 (-4Xj,tn)(4)(1)+(2)得n 1 n n 1 uj -2uj ujp.2二 u;:t2+o(l2)(3)+ (4)得nn n _2u j 1 - 2uj u j_ 二 uh2；:x2+ o(h2)所以其截断误差为o(l2+h2)。24.证明：用Fourier法 证明:作变化un=vn exo( iocjh)。得口之0时vn 1 exp( j ： jh) vn exo( j 二 jh)vn 1 exp( j ： jh) vn 1 exp( j ： (j 1)h) 、， ，_： 、 - = - ： - 1 -消去 exp(iotjh)得:vn11 -h1 (1 -exp( T 二 h)所以 G(：h,l) = I I1 (1 -exp(-i： h)1，2 2<1(1 h - h cos： h)2ah2 sin2 ： h所以当a之。时,n -1nn -1n 1u j - Uj Uj -Uj ML L + a 12=0绝对稳定。lha<0n 1 n n 1 nv exp(i jh)-v exp(i jh) v exp( i - (j 1)h) - v exp(i jh)_-_ = _a消去 exp(iotjh)得:aln 16 nV = ：V1 h exo( i - h)1 , 平1 lexp( i ： h)-1 .J(1+需 cossh)2+手-1.2,sin : hn 1 nn 1 n 1u ； u ； u u ；所以 当a<0时 L + a j=0 绝对稳定lh25 解：作Fourier 变换川口dexpQ jh）得 VnjM 与“1一上）:"exp（无一巾）;。消去exp(i jh)得v1 ia -gin hvn =2h2 vn,1 i”2h.| 1 .1-ia-sin hh -2-22 a . sin .221 hsin /h12二 (2-2)1 1 +a-2-sin2 hh2sin /h2 2a . 22sin Wh2_ <1 2 2一1 - ah2 sin2 hn+1 nn+1Uj -Uj Uj 1 -Uj 1+a=n+12hdD绝对稳定。2成系数方程的差分格式为n+1 nn nu_旦抬ju_二2应 当明印1式） hn+1 nn n其中 aj =a(Xj)利用Fourier方法，类似24题得到（1式）稳定的充要条件为a之0,|a.0,（2式）稳定的充要条件为a. E0,|ar凶.r=? j - j -j - j - h27n 1UjLa(格式：一;(心工4ujg) f -f2- j 12hn&=0，其中 f；=f（Xj，u；）Bo淄式:29题证明:n -1n 1nn(1+ar)Uj(1-ar)UjL=(1-ar)Uj (1 ar)Uj 11f =au，r =-将Rchardson格式写成等价的方程组：k 1kk kkUj=2r(Uj+1 -2UjUj-1)Wj(成)Wk 1 二U：(2以Uk=vkexp(aj)，wk qkexpQaj)代入，并消去公因子，得Vjk1=4r(cos-h-1)V； Vkk+1V2k8小或1=V1得到增长矩阵为G（御W 2）从而得到G仔）的谱半径不满足vokNewmanM牛。故Richardon式绝对不稳1028必要性证明：由根与系数的关系知h+%=b，?J2=c，若|，1, q|M1成立，则|c月，1 ,2仁1显然成立当 1+，2-0寸，1-C-|b| = 1+ 12 -(-1.Q - 2) =(1- 1)(1 -2) -0当彳+，2：二0寸,1-C-|b| = 1+，1 % (，1+，2)=(1，1)(1-2)_。二:|b| W-c时成立。7 |d<1，A-1 <c <1，,-0<1-c<c*.|b| <1-c<j充分性证明：|b <1-c 3.0 W-c <5 二|c| 刍.I 12|-1 . | 11 | R中至少有一个是小于等于1.当 1+ 20寸，1-c-|b| = 1+,12-(1.2)=(1 -，1)(1 -)-0.|，1|，|，2/、于1.当 1+，2：二0寸,1-c-|b|=1+，1，2(.+%) =(1+,J(1 %)-0:因，常/、于1.=队Q |刍充分性得证。