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北京市崇文区第二学期高三统一练习数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第n卷3 至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.设集合 A=1,0,1,2 , B =x| 3Mx c1,则 Ap)B =A. 1,0,1B . 1,0.tx -1 < x < 0)x-1<x<01 22.抛物线y= x2的焦点坐标是 43.已知 sin - cosB.八1 0,1 ,16C.。1)D. (1,0)1一,则sin 26的值为32B .一34 .若函数y = f（x）的图象与函数y = log2 Mx-1的图象关于直线y = x对称，则f(x-1) =xx 1A. 4 B . 45 .已知mn n是两条不重合的直线， 条件是A.m/ a , m/ 3B.C.m? a ,n ? 3 , m / nC- xx 1C . 2D , 2a、3、丫是三个不重合的平面，则 all 3的一个充分()a _L y , 3 -L YD. m、n 是异面直线，m? a , m/ 3 , n? 3 , n/ a6 .在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数 z= x+ay取得最小值的最优解有无数个,的最大值是x -a2B .一57 .直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过 k(k N*)个格点，则称函数 f (x )为k阶格点函数.下列函数：1 f(x 户sinx； f (x )=兀(x1)2+3； f(x) = ()； f(x) = logo6x.3其中是一阶格点函数的有A.B.C. D.8.已知函数y = f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x, ye R,等式 f (x) f (y) = f (x +y)成立若数列an满足a1=f( 0 ,)且1f (an +) =( n H N*),则 a2009 的值为f(-2-an)A. 4016B. 4017C. 4018D. 4019崇文区2008 2009学年度第二学期高三统一练习高三数学(理科)2009.3第II卷(共110分)注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号一二总分91011121314151617181920分数得分评卷人中横线上。、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题9 .已知z是复数，i是虚数单位，若(1 i )z = 2i ,则z=/ 10, 6口 x 1 II x 110 . 极限 lim -xTX11 .如图，等腰梯形 ABCM, E,F分别是BC上三等分 点，AD=AE=1,BC=3,若把三角形 ABE和DCF分另沿 AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点 P,则二面 角P-AD-E的大小为 .12 .设集合D =平面向量,定义在D上的映射f ,满足任意 xW D ,均有f (x) = ?x(九 wr 且九#0).若 | a| = | b | 且 a、b 不共线，则f ( a) f (b)，(a+b)=;若 A(1,2),B(3,6),C(4,8),且 f(BC) = AB,则儿.2213 .已知F (c,0 )是椭圆 与+-=1(aAb >0)的右焦点，以坐标原点 。为圆心，a为半径 a b作圆P ,过F垂直于x轴的直线与圆P交于A, B两点，过点A作圆P的切线交x轴于点M .若直线l过点M且垂直于x轴，则直线l的方程为;若CA =AM ,则椭圆的离心率等于 .14 .对于集合 N=1,2, 3,，n的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减 的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合1, 2, 4, 6,9的交替和是9-6+ 4-2+1=6,集合5的交替和为5.当集合N中的n =2时，集合N=1,2的所有非空子集为1 , 2 , 1,2,则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2 -1)=4,请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、0,并根据其结果猜测集合N=1,2, 3,，n的每一个非空子集的“交替和”的总和 &=.三、解答题：本大题共 6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。得分 评卷人15 .(本小题满分13分)在 abc中，角 a、b、C所对的边分别为a, b, c ,已知向量 m = (a,3b c),n = (cosA,cosC),满足 m/ n,(I )求cosA的大小；(n )求 sin2 C -2sin( A -)sin( A +三)的值.244得分 评卷人 17.(本小题满分13分)在直四棱柱 ABCD-ABGD 中，已知 ABCD,AB=AD=1,D1D=CD=2,ABLAD.(I)求证：BC面DDR(II)求DB与平面DDCC所成角的大小;3(III)在BB上是否存在一点 F,使F到平面DBC的距离为,若存在，则指出该点的位3%置；若不存在，请说明理由.得分 评卷人 17.（本小题满分13分）高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛 规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少 参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛； 先胜两盘的队获胜，比赛结束 .已知每盘比赛双方胜出的概率均为-.2（I）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（n）高三（1）班代表队连胜 两盘的概率为多少？ （出）设高三（1）班代表队获胜的盘数为 之，求 的分布列和期望.得分 评卷人 18.(本小题满分13分)已知函数 f(x) =ex .(ax2 2x 2) , aR且 a#0.(i )若曲线y = f (x)在点P(1, f (1)处的切线垂直于y轴，求实数a的值;(n)当a a 0时，求函数f (cosx)的最大值和最小值得分 评卷人19.（本小题满分 14分）已知动圆P过点N （而0饼且与圆M ：（x+J5； +y2 =16相外切，动圆圆心 P的轨迹为W,轨迹W与x轴的交点为D.（I ）求轨迹W的方程；（n ）设直线l过点（m,0 m m >2 ）且与轨迹 W有两个不同的交点 A, B ,求直线l斜率k的取值范围；T T（出）在（n）的条件下，若 DA DB = 0,证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标.得分 评卷人 20.(本小题满分13分)已知函数 f (x) =4x+1,g(x) =2x,xw R,数列an , bn, cn满足条件：q =1,* 、an = f(bn) =g(4Q( n UN)，Cn1 12f(n)+2g(n)+3(i)求数列an的通项公式;m(n)求数列cn的前n项和Tn,并求使得Tn > 对任意nW N都成立的最大正整数 150m ;a a?ann 1(m)求证： 1 + 2 + n > 一 .a2 a3an 1 23崇文区2008 2009学年度第二学期高三统一练习高三数学（理科）参考答案2009.3选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）填空题2. C 3.D 4. A 5. D 6. B 7.8. B（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. T+i10. 411. if ;12.o ， 12a13. x = 一cn-114. n 215.解:解答题：本大题共 6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（本小题满分13分）（I ）由 m/ n 得 acosC=（3b-c）cosA ,1分由正弦定理得 sinAcosC=(3sinB-sinC)cosA ,即 sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA ,.sin(A+C)=3sinBcosA ,丁 MBC 中，A+C=n -B,二 sin( n -B)=3sinBcosA , 即 sinB=3sinBcosAB (0,二)sin B = 0(口 ) sin2_冗冗、-2sin( A -)sin(A ). 2=sin-2(sin A-2,2,2cos A)(sin A cos A)22=cos2 A - (sin2 A - cos2 A)2111 cosA 2Ad2cos A -121321 2叼-11316.(本小题满分14分)解法一：(I)证明：.ABCD-AB1CD为直四棱柱,D1DL平面 ABCDBC DD. AB/CD, AB XAD四边形ABC的直角梯形,又 AB=AD=1,CD=2可知BC DB . DDA DB=D , .Bd平面 DDB.(II)取DC中点E,连结BE,D1E. DB=BC BEX CD.ABCD-AB C1D1为直四棱柱， ABCDL DiDCC.B。DDCC.DE为DB在平面 DDCC上的射影,BDE为所求角.在 RUDiBE 中，BE =1,D1E = 75tan. BD1e=d!所求角为arctan 色 59（出）假设BiB存在点F,设BF= x, VF _DiBC = Vc_D1BF ,BC，平面 DBF,BC .1s DiBC 3在ADiBC中，BC _L DiB,DiB = V6,BC = 22 ,1 . iS DiBCDi B BC 62 - . 3 .2 2又 S DBF BF DiBi = x V2x ,222J如2=i 立x,&= x=i.3 33 2即存在点F为BB的中点.14解法二：(I)证明：如图建立坐标系D-xyz,D(0,0,0), B(11,0),C(0,2,0), Di(0,0,2).T TBC =(-1,1,0),DDi =(0,0,2), DB =(1,1,0). bC DDi = 0 , bC DB = 0 ,BC DD, BC SB .DDn DB=D , BC，平面 DDB.4I分分(II) DiB =(H1,-2),A(1,0,0), DA =(1,0,0). AD，平面 DiDCC,平面D1DCC的法向量m = (1,0,0),cos < D1B, m >.6,6 1 一 66 DiB与平面DDCC所成角的大小为arcsin .6(III) 假设 BiB 存在点 F,设 BF = a,则 F(1,1,a),设平面 DBC的法向量为n = （x, y, z）,D1B n =0x y -2z =0由 4= W.令 x=1，贝U y = z =1.BC n =0-x y =0 n =(1,1,1),又 BF =(0,0,a),3F到平面DiBC的距离为,3即存在点F为BB的中点. 14分17.（本小题满分13分）解：（I）参加单打的队员有 A2种方法，参加双打的队员有 C2种方法.所以，高三（1）班出场阵容共有 & C； =12（种）.3分（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.111113所以，连胜两盘的概率为 一M 十一M X = - .7分2 2 2 2 2 8（出）上的取值可能为0, 1, 2.pH： =0 ；=1 1=1.2 24P =1 =1 1 1 1 1=1-2 2 2 2 2 2 411111111P = 2 二22222222所以之的分布列为012p1111442111 5=012=.13442 418.(本小题满分13分)一x 2x 2:f(x)=(e) (ax -2x-2) e (ax -2x-2)=ex (ax2 -2x -2) ex (2ax-2)x2八=a ex (x)(x+2).3 分a(1) .曲线y = f(x)在点P(1, f (1)处的切线垂直于y轴， - _ 1由导数的几何意义得 f (1) = 0,a = 2. 6 分(n)设|cosx|=t (0 Wt W1),只需求函数y = f(t) (0 WtW1)的最大值和最小值.-7分“一,2 一令 f (x) = 0 ,解得 x = 或 x = -2. a八2 八. a >0 , . - - > -2 .a当x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表：x(_oO, -2)-2(-2, 2) a2 a(-,+) a_ f (x)+00+f(x)极大值极小值2.一 2.函数f（x）在 2）和（一，+笛）上单调递增；在（-2,-）上单调递减;aa9分2 当一A1,即0<aE2时，函数f(t)在0, 1上为减函数. aymin = f (1) = (a -4)e,ymax = f =-2 ._ 2一 当0<<1,即a >2时，函数f(x)的极小值为0, 1上的最小值, a2 aymin = f ( )- -2e .a函数f(t)在0, 1上的最大值为f (0)与f (1)中的较大者. f (0) = 2, f (1) = (a4)e.-2.当 a>4时，f (1)>f (0),此时 ymax = "1)=(a4)e； e-2当 a =4 时，f(1)=f(0),此时 ymax = f(0) = f(1)=2； e-2当 2<a<4时，f (1)< f (0),此时 ymax = f (0) =2. 12 分e综上，当0<aM2时，f (|cosx|)的最小值为(a4)e,最大值为2；2-当2<aE4时，f(|cosx|)的最小值为2ea,最大值为2； e13分2-当a>4 -一时，f (| cosx |)的最小值为一 2ea ,最大值为(a -4)e. e19.(本小题满分14分)解：(I)由已知 ,PM - PN| =4 < MN| =275,.点P的轨迹是以M ,N为焦点的双曲线的右支，且a = 2 ,c ="5 ,b = .12，轨迹W的方程为 -y2 =1(x2).4 分4(n)设直线 l 的方程为 y =k(xm )(m >2,k #0 ).y =k x -m ,由 x2得(14k2)x2+8k2mx4k2m4 = 0.y = 1,、4设 A(xi,y12仅2,丫2),则28k m -x1 + x2 = -2> 0 ,4k2 -1,224k m 4 x x- =5 A 0 )4k2 -1 二64k4m2+4(1-4k2 * 4k2m2+40. d由得4k2 >1 .直线l斜率k的取值范围是但，1,22(m) DA DB= x -2,y1x2 -2,y2=x1-2x2-2y1y2= x1x2-2x1x24 kx1-m k x2-m=1 k2 x1x2 -：2 mk2)ix1 x24 k2m22.22221 k2 4k2m22 mk2 8mk2 DA DB = 0,4k2 -14k2 -1+ 4 + k2m2.1 k2 4k2m22 mk2 8mk4k2 -14k2 -1-+4 + k2m2 = 0,. . (1 +k2 X4k2m2 )-(2 + mk2 )8mk2 + (4 + k2m2 *4k2-1 )=0 ,222220k2 16k2m +3k2m2 =0 ._2_ 10，3m -16m+20=0,解得 m = ，或 m=2 (舍).3，直线l的方程为y = k，x_10 l314 分直线l过定点，定点坐标为i10,0 I.3 ,20.(本小题满分13分)解：(I)由题意 an+=4bn+1,an = 2bn书， an+=2an +1,2 分 an.+1=2(an +1), a1 =1 ,，数列an +1是首项为2,公比为2的等比数列.4分. an 1=2 2nlan - 2n -1 .5 分(n) Cn(2n 1)(2n 3)= 1(2 2n 17分Tn15 5 7 2n 112n 31,11、 n_ (_ _)=2 3 2n 33 (2n 3)n6n 98分Tn 1n 1 6n 9 6n215n 9 .=2> 1, Tn6n 15 n6n215nTn <Tn+,n=N*. _.1当n=1时，Tn取得最小值,10分15.一一 1 m 一 一由题意得>,得m<10 . 15 150. me Z,，由题意得m=9.11分(m)证明:akak 12k -11111111 = = - - 2k 1 -12 2(2k 1 一1)2 3 2k 2k -2 - 2 3 2k-12 分k =1,2,3,na1a21(11. 1)= n3 2 222n 2(1-12n14 分.a1a2an n 1, , + +> (n匚 N ).a2a3an 12 3
