高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一.docx

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1. (12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点(I)求这三条曲线的方程；(n)已知动直线l过点P(3,0卜交抛物线于 AB两点，是否存在垂直于 x轴的直线1被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 1的方程；若不存在，说明理由.解：(I)设抛物线方程为 y2 =2px(p>0 ),将M (1,2)代入方程得 p=2二抛物线方程为：y2 =4x (1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为F(1,0 ),F2(1,0 ),c=1 (2分)对于椭圆，2a = MF1 +朋| =（1 +1 j +22 +J（1-1 j +4 =2+2我a =1.2:.a2 =（1+向=3 + 2无222L （4 分）b2 =a2 -c2 =2 2 22 2,椭圆方程为：+=13 2,2 2 2.2对于双曲线，2a=|MF1 -MF2II =272-2a = 2-1a 2=3-2、. 2- b =c2 -a*2 =2-2（ 6 分）22二双曲线方程为：- X =13-2.2 2 2 -2（n）设AP的中点为C ,的方程为：x = a ,以AP为直径的圆交1,于D,E两点，DE 中点为H令 A（x1,y）Cxf3，（7 分）DC =* =2而-3"y；CHK +3一 22221 -22 -12DH =DC| |CH =- x1 -3v； - xi -2a 32=a-2 x1 -a 3a（12 分）一2当a =2日1 DH =4+6 =2为定值；DE =2DH =2、,小定值此时l的方程为：x=22. （14分）已知正项数列an中，ai =6,点A（an，dai）在抛物线y2=x+1上；数列bn中，点Bn（n,bn声过点（0,1）,以方向向量为（1,2）的直线上.（I ）求数列an , bn 的通项公式；|an，（n为奇数）（n）若f（n）=（；为偶数 ，问是否存在 kw N ,使f （k+27）=4f（k）成立,若存在，求出k值；若不存在，说明理由;n 1n（出）对任意正整数 n,不等式 、/ a 、一/-、- _a_ E0成立，求正数a的1丫1 J l1 J产赤< b八8八bnj取值范围. 2解：（I）将点 An （a。,）（弋入y =x+1中得an 1 = an 1an 1 -an =d =1二 an =a1+（n-1 ）1 =n+5 （4 分）直线l: y =2x , 1, . bn = 2n 15分）In +5, （n为奇数）（n） f（n）=S2n +1,（n为偶数）当k为偶数时，k+27为奇数，；f （k+27）=4f （k）k 27 5 =4 2k 1 ,. k =4当k为奇数时，k+27为偶数，（8分）35 ” .二 2（k +27 ）+1 =4（k +5） /. k = 2 （舍去）综上，存在唯一的k =4符合条件。n 1n（出）由-胃a 、"I W01+工 f 1+工 III 1+。Jn-2 anI b 大b2 八bn JRn 1,1 .111iPa <1 + 11 + | 1 +J2n +3 1 b 人b2 , 1bn ,fn 尸焉 hdhMT12n 5f n 1f n2n 4.2n-5 . -2n-34n2 16n - 16 . )1 4n2 16n 15f(n+1f(n)即f(n 浬增,f n min4.5154.515(14 分)3.(本小题满分12分)将圆O:=4上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变)，得到曲线C.(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，过点F( <3, 0)的直线l与C交于A、B两点，N为线段AB的中占 ,延长线段ON交C于点E.求证：OE = 2ON的充要条件是| AB | = 3. r f, 一 一、一, x =x,解：(1)设点P(x , y),点M的坐标为(x, y),由题意可知 (2j=2y,分)2222, 2, x 2又 x +y =4,.x +4y =4=+ y =1. 42所以，点M的轨迹C的方程为 +y2 =1 (4分)4(2)设点 A(Xi, y1)，B(x2, y2),点 N 的坐标为(x0, y(),当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O,不合题意，舍去；（5分）设直线1： x = my 3,=my . 3，24y =4消去x,得（m2 +4）y2 +2j3my _1 =0J3 2,m 4（6分） x0 = my 0. 3 =. 3m23m2 4.3m2 4m2 44.3m2 4.点N的坐标为（与3, _3m）.m 4 m 4（8分）若OE = 2ON坐标为，则点E的为（8：3m 42.3m、-1）,由点E在曲线C上, m 44812m2+（m2 4）2 （m2 4）242即 m -4m -32 = 0,2 一 ,2m = 8 （m = -4舍去）.由方程得|yi -y2 卜12m2 4m2 16m2 44 m2 1m2 4=1,又 |x1 -x? | 二|mymy2 | = | m（y1 - y?） |, |AB |=Jm2 + 1 |y1 | = 3. （10分）若 |AB |=3,由得 4（m2 +1）=3, m2 =8.m24，点N的坐标为（）-3, ）,射线ON方程为：y = 2x （x > 0）, 3622,小,y = x （x 0）由222x + 4y =42 73飞2后再解得 L，点E的坐标为（,土）,633）y 二 -OE =2ON .综上，OE=2ON的充要条件是|AB| = 3.(12 分)，一八八一一14.（本小题满分14分）已知函数f （x）=（X W R）.42.、一， ，、，11、（1）试证函数f（x）的图象关于点（一，-）对称；2 4（2）若数列an的通项公式为a。=f（口）（mw N+，n =1,2，m）,求数列anm的前m项和Sm ；（3）设数列bn满足：b1=1,bn5=b2+bn .设3Tnb11b2 1bn 1若（2）中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn <Tn恒成立，试求m的最大值.11解：（1）设点B（x。，y0）是函数f（x）的图象上任意一点，其关于点（，）的对称点为2 4P(x, y).x+xo_1由丁 "Iy+y0=1L. 2 一4x = 1 -x。，得 1y=2 7. 1所以，点p的坐标为p（1 -x0, - -y0）. （2分），一，,、1由点Po（x。，y。）在函数f （x）的图象上，得y。=.4 0 24xo4 2 4x04x02(4x0 2)1_ 112 y0 - 24x024x02(4x02)一 一 1点P(1 x0,yO)在函数f (x)的图象上.2 11二函数f(x)的图象关于点(一，一)对称.(4分)2 41 kk1(2)由(1)可知，f (x) +f (1 x)= ，所以 f (一)+ f (1) =一 (1 < k m -1),2 mm2即 f(k) f(m 一与=；,. aam* m m 2(6分)由 Sm 二a1 . a2a3. am/am,信 Sm = am 1am _2 am _3alam，m -11m 2 =一2621由+，得 2Sm =(m -1)X- +2am(8分)-1 ，c ,、Sm = (3m -1).m 12,1, 2 b1 = , bn1=bn + bn = bn(bn 11),3对任意的 n N ., bn . 0.1由、，得bn 1bn(bn 1) bn bn 1bnbn 1Tn =(；b11、 ，11、，1)(-)"(b2 b2 b3bnJ bn 11b1(iobn 1 -bn分）=b2 >0, A bn+ >bn, 数列bn是单调递增数列Tn关于n递增.当n之2,且nw N Ut Tn之T2.= 1,b2 T1 1) =4, b3 =黑 1)喑33 399 981 Tn_T2=3=75b152(12 分)Sm751 -7 75238-477,即(3m D < 77, m < 7 = 6;-, 1- m 的最大值为 6.5212523939(14分）5. （ 12分）E、F是椭圆x2 +2y2 =4的左、右焦点,l是椭圆的右准线，点PW l ,过点E的直线交椭圆于A、B两点.(1)当AE _LAF时，求AAEF的面积;(2)当AB =3时，求AF + BF的大小;(3)求/EPF的最大值.解: m n = 4 1 )22 S S/AEFm2n2 =8mn二22II AE +AF|=4、BE + BF =4+ AF + BF =8,AFBF=5.(1)1111(1) 设 P(2 立 t)(t0) tan/EPF =tan(NEPM /FPM)3 2)- (1t 6 t 6t3.2 反 2.2t 2 2 , .3 2)2t2 t2 6 t 6t,3当1=褥时，tan/EPF = *=2EPF =30 3. .16. (14分)已知数列an中，a=一3,当n之2时,其前n项和Sn满足an =2S22Sn-1，、一a求Sn的表达式及nm京的值;(3)求数列an的通项公式;(4)(2n 1)3(2n -1)3,求证：当nwN且n之2时，an < bn.解:一 一2S2 -1)4=Sn-SnZ=2SnSn二2sl -1Sn=2(n - 2)所以1是等差数列.Sn则Sn =2n 1lim ay = lim -: S2 n ： ： 2S2lim Sn -1n n(2)当n22时,an-22n 1 2n 7 4n2 7综上，ann =11 - 4n2n -21,2n=,b-1法1 ：等价于求证.2n11,当n之2时，有0cbaW-、32n-1)32n 1J(2n+1)311.231当 n2 时，0 < = w ,令 f(x)=x -x ,0 < x < -= ,.2n -1,3,3一233f x =2x-3x = 2x(1-万 x) _ 2x(1-万= 2x(1-) >0,一1、，则f （x庐（0,-递增.、3，11r所以线诉大田,即and法（2）an _ bn = 2n 1- -( 1 - -1) = b2 - a2 - (b3 - a3)2n -1,(2n 1)3(2n-1)322二(a -b)(a bab _a_b)(2)2 ab2 abba= (ab)(a +aba)+(b +abb)=(ab)a(a+b1) + b(b + a1),a . b , 3a ,3.3b 1 ： a 11 ：_ -1 =-1 ： 02222.32(3)以a(a ； -1) b(b a -1) < 0由(1) (3) (4)知 an <0.221 - a法 3:令 g (b ) = a +b +ab_a b ,则 g (b )=2b + a 1 = 0= b=2" 所以 g b M max tg 0 , g a=max ta2 - a,3a2 - 2a J因 0 <a <-1,则 a2 a =a(a 1 )<0 , 3a2 2a = 3a(a 2) M 3a(J； y 9) < 0所以 g b = a2 b2 ab -a -b :二 0(5)由(1) (2) (5)知 an <bn7.（本小题满分14分）设OP = ( m, n ),则由双曲线方程与OP方程联立解得：22设双曲线、=i( a > 0, b > 0) 的右顶 a4b2 -ab 即 k = 2 > 0 , /. 4b > a,得 e > ab 4ab2点为A, P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.2 证明：无论P点在什么位置，思有| OP |T T第21题=| OQ OR | ( O为坐标原点)；(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心 率的取值范围；解：(1)设 OP : y = k x,又条件可设 AR: y = b(x - a ),a解得：OR=(二ab-,二kab),同理可得 OQ =(_ab_,JkaL),ak - b ak - bak b ak bab ab-kab kab , a2b2(1 k2) |OQ OR | =|+| = -2-4六4 分ak - b ak b ak - b ak b |a2k -b2 |2 2 2kab22 2 ,b -a k2.22 a bm =r-2 2, n b -a k2. 2I 2 2. 22.22 x| OP |2 = :m 2 + n2 =a b + k a b =a b (1 k).22. 2.22. 2.22. 2b- akb- akb- ak点P在双曲线上，b2 a2k2 > 0 .，无论P点在什么位置，总有| OP|2 二 | OQ - OR| .一a2b2 (1 k2)(2)由条件得：a b(1 2 k2)= 4ab,2 分b -a k本资料来源于七彩教育网 http:/www.7caiedu.cn