传染病模型.docx

病毒扩散与传播的控制模型摘 要 随着科技的发展，病毒扩散与传播越来越受到人们的关注。 本文通过建立微分方程模型，描述了病毒扩散与传播的过程，最后通过分析，得到了控制病毒扩散与传播的方法。对问题一，我们通过分析影响变量的因素，建立微分方程模型。对问题二，我们通过把增加的影响因素加入到问题一的微分方程模型中，改善后得到了新的微分方程模型。最后把变量代入，求解微分方程模型，得到结果。当t=13天时，确诊患者人数达到峰值6793000人；t=150天时，确诊人数减少到116800人。对问题三、问题四、问题五，通过把改变后的条件代入到问题二中的微分方程模型中，可以得到其对应结果。问题三的结果，当t=13天时，确诊人数达到峰值6769000人，t=150天时，确诊人数减少到108400人。问题四的结果，当t=13天时，确诊人数达到峰值6795000人，t=150天时，确诊人数减少到116200人。问题五的结果，当t=12天时，确诊人数达到峰值6793000人，当t=150天时，确诊人数减少到113500人对问题六，结合前面所得到的结果，我们分析在其它因素都不变的情况下只改变一种因素，分析得到该种因素的灵敏度，最后得出各个因素的灵敏度。可以得到，尽快开始隔离、治愈时间 、 ，加强隔离强度p、减少人均日接触率r都可以改善病情。对问题七，在问题六的基础上，可以得出相应的减轻病情的方法和建议。关键词： 微分方程模型 微分方程组求解（MATLAB）13一、 问题的重述已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求：1. 在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；2. 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000条件3：隔离措施强度p=60%条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。3. 若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？4. 若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？5. 若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？6. 分析问题中的参数对计算结果的敏感性。7. 针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。二、问题的分析2.1 问题一的分析问题一的解决，在于对疑似患者、确诊患者、治愈者、正常人、死亡者的理解，在理解的基础上，我们分析影响它们的因素有哪些，最后通过建立微分方程模型来解释这些影响关系。2.2 问题二的分析问题二的解决基于问题一，在问题已的基础上，我们对于增加的影响因素进项分析，并且改进问题一中的微分方程模型。我们会得到考虑更加全面的微分方程模型，最后把已知的数据带入方程组中，最后用MATLAB进行求解，可以得到结果。2.3 问题三的分析问题三的解决，即把已知的条件代入问题二的微分方程组中，最后用MATLAB求解，可以得到结果。2.4 问题四的分析问题四的解决，即把已知的条件代入问题二的微分方程组中，最后用MATLAB求解，可以得到结果。2.5 问题五的分析问题五的解决，即把已知的条件代入问题二的微分方程组中，最后用MATLAB求解，可以得到结果。2.6 问题六的分析通过对问题二、问题三、问题四、问题五结果的分析，通过相互之间的对比，我们会发现不同影响因素对病情的影响，最终得出结论。2.7 问题七的分析通过问题六的结果，我们会得到影响病情的因素以及影响关系，通过这些关系，提出减轻病情的建议和方法。三、模型的假设1总人数N不变，人群分为确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人；2. 疑似患者是被病毒感染，但是没有发病的人；3确诊患者自动被隔离，不具备传染病毒的能力，所以人群中只有未被隔离的疑似患者能够传染疾病；4治愈者具有了免疫能力，不会再被该病毒感染；5平均潜伏期为 5. 在问题二中，假设人群总数为1000 0000四、符号说明S疑似患者在人群中的比例I确诊患者在人群中的比例R治愈者在人群中的比例H正常人在人群中的比例D死亡人数在人群中的比例N人群的总人数（假设为1000 0000）d1d2病毒的潜伏期d3治愈时间r人群的人均日接触人数p隔离强度 平均潜伏期五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解易知显然有 S+I+R+H+D=1根据已知条件以及假设，分析可得：疑似患者在人群中的比例决定于未被隔离的疑似患者和疑似患者发病的比例有关。确诊患者在人群中的比例决定于疑似患者发病和患病者得到治愈的比例有关。治愈者在人群中的比例决定于确诊患者被治愈的比例有关。正常人的比例决定于未被隔离的疑似患者的比例有关。死亡者的比例则是人群中每一时刻人群原来整数减去疑似患者、确诊患者、治愈者、正常人人数的比例。有以上分析以及题目中所数据和假设中的数据可将此问题满足的微分方程模型建立，如下： 到此，我们建立该病毒扩散与传播的控制模型；5.2 问题二的模型建立与求解问题二模型的建立是建立在问题一的基础上，由题中给出的额外条件患者天后得到治疗和疑似患者天后被隔离，所以我们基于问题一的模型。考虑到此事疑似患者感染人群的天数增加 天，所以此时人群中每天疑似患者的增加人数比问题一多 ；相反人群中正常人每天比问题一减少。考虑到此时患病者天后开始治疗，所以这时治愈时间变为+ 天，此时人群中每天治愈者的增加人数变为；相反人群中每天确诊患者的变为 。所以得到问题二的微分方程模型，如下： 把问题二中已知的条件1、条件2、条件3、条件4可得：， ， =0.000089， =0.00002 ， =0由假设可得 =0.9997将这些数据代入上述方程，可得微分方程组，如下： =0.000089，=0.00002 ， =0， =0.9997用MATLAB求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示： 问题二的结果（由于死亡者的比例几乎解决于0，甚至是一个很小的负数，所以与横坐标轴重合）在图中标出三个特殊点，（0,0.000089）（13,0.6793）（150,116800）。分析可得，起初即t=0时，人群中确诊患者的比例为0.000089，即890人；当t=13时，确诊患者人数比例达到最多0.6793，即6793000人。并且013天，确诊患者人数递增；13150天，确诊患者人数递减，最后在150天时，确诊患者比例为0.01168，即116800人。5.3 问题三的模型建立与求解由已知可得，改变问题二中的条件四， 可得微分方程组： =0.000089，=0.00002 ， =0， =0.9997用MATLAB求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示： 问题三的结果在图中标出俩个特殊点，（0,0.000089）（13,0.6769）（150,108400）。分析可得，起初即t=0时，人群中确诊患者的比例为0.000089，即890人；当t=13时，确诊患者人数比例达到最多0.6769，即6769000人。并且013天，确诊患者人数递增；13150天，确诊患者人数递减，最后在150天时，确诊患者比例为0.01084，即108400人。5.4 问题四的模型建立与求解由已知可得，改变问题二中的条件三改为p=40%，同理可得微分方程： =0.000089，=0.00002 ， =0， =0.9997用MATLAB求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示： 问题四的结果在图中标出俩个特殊点，（0,0.000089）（13,0.6795）（150,116200）。分析可得，起初即t=0时，人群中确诊患者的比例为0.000089，即890人；当t=13时，确诊患者人数比例达到最多0.668，即6795000人。并且013天，确诊患者人数递增；13150天，确诊患者人数递减，最后在150天时，确诊患者比例为0.01162，即116200人。5.5 问题五的模型建立与求解由已知可得，改变问题二中的条件一改为， 同理可得微分方程： =0.000089，=0.00002 ， =0， =0.9997用MATLAB求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示： 问题五的结果在图中标出俩个特殊点，（0,0.000089）和（12,0.6793）。分析可得，起初即t=0时，人群中确诊患者的比例为0.000089，即890人；当t=13时，确诊患者人数比例达到最多0.6793，即6793000人。并且013天，确诊患者人数递增；13150天，确诊患者人数递减，最后在150天时，确诊患者比例为0.01135，即113500人。5.6问题六的求解通过建立的模型，我们对问题二、三、四、五进行了定量的计算，问题二、三、四、五是改变模型中的一些参数的值，得到不同参数下的结果，并分析了参数的改变对患者数量最大值，达到这个最大值的时间以及病情得到控制的时间的变化，通过对这些数据结果的分析，可以得到某一参数的改变对病毒传播过程的影响，通过数据前后的对比，可以分析参数对计算结果的敏感性，针对这个问题，通过以上几问的求解，可以得到以下表：问题和影响因素患病人数最大时刻（天）患病人数最大值（人）t=150时患病人数t天后开始隔离、治愈隔离强度p人均日接触率r问题二136793000116800260%10问题三1367690001084001.560%10问题四136795000116200240%10问题五126793000113500260%250（1） 对t天后开始隔离、治愈的灵敏度分析 对比问题二和问题三可以得到，它们几乎同时达到患病人数的最大值，但是问题三患病人数的峰值比问题二患病人数的峰值小；而且t=100时，问题三中的患病人数比问题二中的患病人数小。所以我们控制病毒感染可以通过缩短t，即尽快的进行隔离和治愈来减轻病情。（2） 对隔离强度p的灵敏度分析对比问题二和问题四可以得到，它们也是几乎同时达到患病人数的最大值，但是问题四中的患病人数峰值比问题二大。所以我们可通过加强隔离强度p来减轻病情。（3） 对人均日接触率r的灵敏度分析对比问题二和问题五可以得到，问题五比问题二提前一天达到患病人数峰值，而且它们的患病人数峰值相等。所以我们可以通过减少人均日接触率r来减轻病情。5.7问题七的求解随着科技的进步与发展，传染病的传播和治愈也越来越得到人们的注视。对于已近爆发的传染病，我们通过以上的模型建立和模型灵敏度分析，我们可以得到要想改善病情，我们可以采取以下手段：尽快的进行疑似患者的隔离和确诊患者的治疗，加强对疑似患者的隔离强度，控制并减小人均日接触率。通过这三条途径，结合上述模型，我们可以将病情缓解。最后，由于此模型是建立在一定的假设之上，所以和实际情况有一定的差距，但是总体方向还是和实际情况一致的，因此有一定的参考价值。六、模型的评价 优点：该模型通过一定的假设条件，成功的建立微分方程模型，并且通过控制变量讨论了不同情况下影响病情的因素，最后得到结论与实际相符合，可以应用与实际。 缺点： 由于该模型是微分方程模型，所以对于分析的变量，其大致走向不会发生与实际发生矛盾，但是随着时间的增加，当时间很大时，所得到变量数据不一定准确，例如t=150时的患病人数可能与实际情况有一定差距。八、参考文献（1） 姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。（2）胡鹤飞，MATLAB ,北京：北京邮电学院出版社，2010（3）算法大全【附录】附录一：程序如下：function y= ill2( t,x )y=9*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-9*x(1)*x(4);endts=0:150;x0=0.0002,8.9e-05,0,0.999711;t,x=ode45(ill2,ts,x0);for i=1:151d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);endplot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),linewidth,3)附录二程序如下：function y= ill3( t,x )y=10.67*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/31.5,x(2)/31.5,-10.67*x(1)*x(4);endts=0:150;x0=0.0002,8.9e-05,0,0.999711;t,x=ode45(ill3,ts,x0);endfor i=1:151d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);endplot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),linewidth,3)附录三程序如下：function y= ill4( t,x )y=11*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-11*x(1)*x(4);endts=0:150;x0=0.0002,8.9e-05,0,0.999711;t,x=ode45(ill4,ts,x0);endfor i=1:151d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);endplot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),linewidth,3)附录四function y= ill5( t,x )y=225*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-225*x(1)*x(4);endts=0:150;x0=0.0002,8.9e-05,0,0.999711;t,x=ode45(ill5,ts,x0);for i=1:151 d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);endfor i=1:151d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);endplot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),linewidth,3)