判断直线与椭圆位置关系的“研究性学习”.doc

判断直线与椭圆位置关系的“研究性学习”江苏省沛县中学 刘洪华 “判别式”法是判断直线与椭圆位置关系的常用方法，笔者在进行“研究性学习”教学时，又发现了另外两种判断方法。一、提出问题已知直线，椭圆C：，C的两焦点为，求以为焦点，且与有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆C的方程。经过学生探索讨论，可得下面两种解法。解法1：，设椭圆的方程为，原题化为求m最小时的方程，由得由得或（舍），m最小值为45，此时的方程为。另外，按照椭圆的定义，椭圆的长轴为，原题转化为求最小时的椭圆的方程，因M是椭圆与的公共点，故又转化为在定直线上找一点M，使之到两定点的距离之和最小。解法2：，设关于直线的对称点为，求得由题意椭圆的长轴为。的方程为二、深入探究容易判断满足条件的椭圆与直线相切（用“”法），结合解法2，我们发现，此时的长轴为2a，恰好与相等，由特殊到一般，对任意的椭圆C：，直线：，设椭圆C的两焦点为，关于的对称点为，当时直线与椭圆C是否相切呢？若或时呢？不妨同直线与圆的位置关系的判断方法作类比：把同圆心到直线的距离d类比，把2a同圆的半径r类比，猜想：（1）时，直线与椭圆C相交；（2）时，直线与椭圆C相切；（3）时，直线与椭圆C相离。猜想是否正确呢？证明：如图1，若在的异侧，则必与相交，设交点为M，则M在椭圆C内部，直线过椭圆C内一点，直线必与C相交，而此时如图2，若在同侧，则必与相交，设交点为M，连，由平面几何知识知M点为直线上所有点中到与的距离之和最小的点（引理）.M.MN图1 图2（1）若，即由引理知直线上任意一点N都有根据椭圆的定义，直线上的所有点都在椭圆C的外部，即直线与椭圆C相离；（2）若，即，由引理知直线上除M点外的任意一点N都有根据椭圆的定义，直线有且只有一点M的椭圆C上，其余点都在椭圆C的外部，即直线与椭圆C相切；（3）若，即，根据椭圆的定义，M点在椭圆的内部，直线过椭圆C内一点，即直线与椭圆C相交。综合可知，猜想正确。上面结论的得出是把椭圆的长轴2a同圆的半径r类比，把同圆心到直线的距离d类比，是从“形”的角度考虑问题，若从“数”的角度考虑，把椭圆C的方程同圆的方程类比，又能得出什么结论呢？“换元”，令，则椭圆C的方程就化为：，相应的直线的方程化为。要判断与C的位置关系只要在新坐标系上判断直线与圆的位置关系。与C相交即与相交，则与C相切即与相切，则与C相离即与相离，则三、归纳总结（略）参考文献：1、赵利忠，判断直线与椭圆位置关系的一种方法，中学数学，1998.5