4向量组的线性相关性[优教课堂].ppt
CH4 向量组的线性相关性 1 课堂教育 向量组的线性相关性 n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间 2 课堂教育 1 N维向量的概念 3 课堂教育 1 1、定义、定义个数组成的有序数组 称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）. 维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 如： 记作,. 维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， 一、维向量一、维向量（Vector） 4 课堂教育 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2 2、几种特殊向量、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 4、对应分量相等的向量相等. 5 课堂教育 二、向量的运算二、向量的运算 1 1、加法、加法 2 2、数乘、数乘 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 6 课堂教育 3 3、运算律、运算律 （1） （交换律） （2） （结合律） （3） （4） (设,均是维向量,，为实数) （5） （6） （7） （8） 7 课堂教育 . ,),( 21 T 21 维向量空间叫做 集合维向量的全体所组成的 n RxxxxxxXR n nn n = L L . ,),( 3 叫做三维向量空间 的集合三维向量的全体所组成 RzyxzyxrR T = 8课堂教育 三、应用举例三、应用举例 9 课堂教育 例例1 1 设 求 解 10 课堂教育 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 即或 11 课堂教育 向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系 其第个列向量记作 个维行向量. 按行分块 按列分块 个维列向量. 其第个行向量记作 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清. 12 课堂教育 2 向量组的线性相关性 13 课堂教育 一、向量组的线性相关性定义 线性相关 线性无关 14 课堂教育 的一个线性组合 则称 为向量 定义 2 使得一组实数 若存在设n维向量 , , 21 21 m m kkk aaa L L , m a L a 12 a 线性表示 或称 能由向量, m a L a 12 a )( 组成的集合叫做向量组. 所或同维数的行向量若干个同维数的列向量 15 课堂教育 定义3 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关. 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关 两个向量线性相关 它们对应分量成比例 16 课堂教育 i.e. 二、判别方法 1. 向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无) (没) (没) 17课堂教育 18课堂教育 19课堂教育 2. 20 课堂教育 第i个分量 3. 21课堂教育 从向量组中找尽量多的线性无关向量 22课堂教育 例 2 解 23 课堂教育 24 课堂教育 例 3 证一 25 课堂教育 26 课堂教育 三、性质 27 课堂教育 整体无关部分无关 部分相关整体相关 28课堂教育 29 课堂教育 定义 30 课堂教育 练习 设向量组 线性相关，则 . 31 课堂教育 4 向量组的秩 32 课堂教育 4 向量组的秩 向量组等价 极大线性无关组与向量组的秩 向量组的秩与矩阵秩的关系 矩阵的秩与矩阵的运算 33 课堂教育 1.定义4 一、向量组等价 34 课堂教育 35 课堂教育 36 课堂教育 37 课堂教育 2.性质 1）自反性 2）对称性 3）传递性 具有以上性质的关系称为等价关系 38 课堂教育 1 定义7 二、极大线性无关组与向量组的秩 39 课堂教育 40 课堂教育 41 课堂教育 42 课堂教育 43 课堂教育 44 课堂教育 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 45 课堂教育 向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系 其第个列向量记作 个维行向量. 按行分块 按列分块 个维列向量. 其第个行向量记作 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清. 46 课堂教育 47 课堂教育 证 48 课堂教育 49 课堂教育 50课堂教育 证明 设的某些列有关系 则相应的 具有相同的线性关系. 即中列向量组与中列向量组 51课堂教育 52课堂教育 解： 53 课堂教育 54 课堂教育 55 课堂教育 总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的 方法 方法1：矩阵的初等行变换法 （1）以向量组中的向量为列向量作矩阵 （2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形） （3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求 方法2：录选法 （1）在向量组中选一个非零向量 （2）再选一个与的对应分量不成比例的向量 （3）再选一个不能由线性表出的向量线性表出的向量 56 课堂教育 四、矩阵的秩与矩阵的运算 57 课堂教育 例14. 58 课堂教育 59 课堂教育 练习. 60 课堂教育 证明: 61 课堂教育 62 课堂教育 5 向量空间 63 课堂教育 向量空间 概念 基与维数 向量的坐标 64 课堂教育 说明 一、向量空间的概念 定义1设V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空 ， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 为向量空间 65 课堂教育 例2 例1 66 课堂教育 例3 例4 练习1 练习2 67 课堂教育 例5 68课堂教育 那么，向量组 就称为向量的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间 二、向量空间的基与维数 定义2 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 若V 的维数为r，记做dimV=r 69 课堂教育 只含有零向量的向量空间V称为0维向量空间，即 dimV=0,它没有基 说明 n-1维向量空间 70 课堂教育 71 课堂教育 72 课堂教育 解： 73 课堂教育 74 课堂教育 75 课堂教育 76 课堂教育 77 课堂教育
