6.2-群的定义[优教课堂].ppt

6.2 群的定义,6.2.1 半群 6.2.2 群 6.2.3 群的性质,1,课堂教育,6.2.1 半群,定义6.2.1 设G是一个非空集合，若 为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统(G, )为半群。,2,课堂教育,例：,设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，和是(S)上的交运算和并运算，则(S), ), (S), )都为半群。 设Z为整数集，+、-、 是数的加法、减法和乘法，则(Z， +)、(Z, )都是半群; (Z, -)不是半群。,3,课堂教育,例：,设N为自然数集，规定N上的运算“”如下：ab=a+b+ab，显然，为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a，b，c，有： (ab)c=(a+b+ab)c =(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+bc+ac+abc， a(bc)=a(b+c+bc) =a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+bc+ac+abc， 故，(ab)c=a(bc). 因此，(N, )为半群。,4,课堂教育,定义6.2.2 设(G, )为半群，如果满足下面条件： 1)有壹(单位元素)：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a1=a; 2)有逆(逆元素)：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足aa-1=a-1a=1， 则称(G, )为群。 如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。,6.2.2 群,5,课堂教育,例：,设Z为整数集, +、是数的加法和乘法, 则 1)半群(Z, +)是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a+(-a)=(-a)+a=0。 2)半群(Z, )不是群。因为虽然存在单位元素1，适合对于Z中任意元素a，都有1a=a1=a，但除了1和-1外，其它元素均无逆元素。,11=1； (-1)(-1)=1。,6,课堂教育,设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合，R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、是数的加法和乘法，则 (Q, +)、(R, +)、(C, +)都是群； (Q, )、(R, )、(C, )都不是群； (Q*, )、(R*, )、(C*, )都是群。,例：,因为0无逆元素。 存在单位元素1：1a=a1=a 对所有非零元素a，有：a(1/a)=1,7,课堂教育,设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，和是(S)上的交运算和并运算，则： 1)半群(S), )不是群。存在单位元素S；但除了S，其它元素都不存在逆元素； 2)半群(S), )也不是群。存在单位元素；但除了，其它元素都不存在逆元素。,例：,aS=a; S=,SS=S; aS=a; S=,a=a; S=S,=; a=a; S=S,8,课堂教育,设N为自然数集，规定N上的运算“”如下：ab=a+b+ab。已证：(N, )为半群。但(N, )不是群。 反证法：若不然，(N, )是群，则一定有单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都有： ea=a，即e+a+ea=a，即e+ea=0。 因此，e=0，但0N，矛盾。因此，(N, )无单位元素，故不是群。,例：,9,课堂教育,设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则(A，*)是群。 设S=0, 1, 2, m-1，规定S上的运算如下： ab= 其中a, b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则(S,)是群，称为模m的整数加法群。,例：,单位元素0：0a=a0=a+0=a; 逆元素m-a：a(m-a)=a+(m-a)-m=0; 0的逆元素是0。,10,课堂教育,设S=a, b，使用乘法表定义S上的运算 如下： a b a a b b b a 问(S, )是否为群？,思考题：,11,课堂教育,设R是实数， 是数的普通乘法，定义R上的一个元算*，对R中任意元素a，b，有a*b=|a|b，问(R, *)上是否有单位元？ 答：没有。,思考题：,12,课堂教育,理解群的定义1.单位元是群中唯一的等幂元。,证明：设(G, *)是群，其单位元是1，显然，由于1*1=1，1是等幂元。 设x是G中的等幂元，即x*x=x，则：x=1*x=(x-1*x)*x=x-1*(x*x)=x-1*x=1 (或由：x*x=x，得 x-1*x*x=x-1*x，即x=1),13,课堂教育,理解群的定义2. 群中不可能有零元。,证明：设(G, *)是群，其单位元是1， 当|G|=1，它的唯一元素视为单位元。 当|G|1，用反证法。假设(G, *)有零元，则对xG，都有x*=*x=1，即 不存在xG，使得x*=*x=1，亦即，无逆元，这与G是群矛盾。,14,课堂教育,理解群的定义3. 群中消去律一定成立。,证明：设(G, *)是群，其单位元是1，对于G中任意三个元素a，b，c， 1) 若a*b=a*c，则 a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即 (a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即 1*b=1*c，故b=c。 2) 同理可证：若b*a=c*a，则b=c。,15,课堂教育,在群(G, )中，(ab)-1是否等于a-1b-1？ 解：不一定。 设群(G, )的单位元素为e，则有： (ab)-1(ab)=e a-1ab-1b=ee=e 所以， (ab)-1(ab)=a-1ab-1b 但群中交换律不一定成立，所以(ab)-1=a-1b-1不一定成立。,思考题：,16,课堂教育,理解群的定义,元数为1的群仅有1个。 元数为2的群仅有1个。,17,课堂教育,习题1,设Mk=1, 2, 3, , k-1，k是模k乘法运算，当k=19时，(Mk, k)是群吗？当k=20时呢？ 答：当k=19时，(Mk, k)是群。 当k=20时，(Mk, k)不是群。,18,课堂教育,习题2,设G=0, 1, , n-1，n是自然数，n2，定义G上的二元运算*为a*b=(ab)(mod n)，其中为普通意义下的乘法运算。请问(G, *)是群吗？ 答：(G, *)不是群。 1是单位元，但是因为0*x=01，所以0无逆元。,19,课堂教育,作业1,1. 设Z为整数集，定义a*b=a+b-2，其中+，-是Z上的加、减运算，a, b是任意整数，证明：(Z, *)是一个群。 2. 设Q为有理数，其上利用数的加、乘、减定义一个运算*如下：a*b=a+b-ab 1) (Q, *)是半群吗？ 2) 求单位元。 3) Q中元素有逆元吗？如果有，请给出。,20,课堂教育,定理6.2.1 群的单位元素是唯一的,任意元素的逆也是唯一的。即,设(G, )是一个群，则G中恰有一个元素1适合1a=a1=a，而且对于任意a恰有一个元素a-1适合aa-1=a-1a=1。 证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1，故1=1。 若b和c都有a-1的性质，则 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c，故b=c。,6.2.3 群的性质-(1),21,课堂教育,结论,1) (a-1)-1=a 因为aa-1=a-1a=1 2) (ab)-1=b-1a-1 因为abb-1a-1=1 b-1a-1ab=1 3) 1-1=1 因为11=1,22,课堂教育,定理6.2.2 群定义中的条件(1)和(2)可以减弱如下： 1)有左壹：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a; 2)有左逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足a-1a=1。 证明：只需证明a1=a和aa-1=1。,6.2.3 群的性质-(2),23,课堂教育,证法一 先证aa-1=1。因为(a-1a)a-1=1a-1=a-1，故(a-1a)a-1=a-1。 由2)，a-1也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是，一方面有：b(a-1a)a-1)=ba-1=1， 另一方面有： b(a-1a)a-1)=(ba-1)(aa-1) =1(aa-1)=aa-1， 因此，aa-1=1。,24,课堂教育,再证a1=a。a1=a(a-1a)=(aa-1)a=1a=a。证毕。 注意：把1)，2) 中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。 但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。,25,课堂教育,证法二 1)往证a1=a。 由1)，知有11=1，由2)，知有a-1a=1， 用其部分代替上式中的1，得到 (a-1a)1= a-1a， 由2)知a-1有左逆，令其为b，并用b 左乘上式，两端得到b(a-1a)1=b(a-1a)，即(ba-1)(a1)=(ba-1)a，亦即1(a1)=1a，即(1a)1=1a， 由1)1a=a，所以a1=a。,26,课堂教育,2)往证aa-1=1。 由2)，知a-1有左逆，令其为b，于是 ba-1=1， 用a右乘等式两端得到 (ba-1)a=1a，即 b(a-1a)=1a，亦即 b=a。 故aa-1=1。 证毕。,27,课堂教育,定理6.2.3 群定义中的条件1)和2)等于下列可除条件：对于任意a、b，有x使xa=b，又有y使ay=b。 证明：首先证明在任一群中可除条件成立。 因为：取x=ba-1，y=a-1b，即得xa=b，ay=b，故：由1)和2)可以推出可除条件成立。,6.2.3 群的性质-(3),28,课堂教育,证明：,再证明由可除条件也可以推1)，2)，因而可以推出1)，2)。 取任意cG，命1为适合xc=c的x，则1c=c。今对于任意a，有y使cy=a，故 1a=1(cy)=(1c)y=cy=a， 即1)成立。 令a-1为适合xa=1的x，则a-1a=1，故2)成立。 证毕。,29,课堂教育,定理6.2.4 设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。 证明：因为群满足结合律，所以要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积 (a1a2)a3)an-1)an (1) 用数学归纳法证明。 n=1、2、3，命题显然。假定对少于n个因子的乘积(1)式成立，以下证对n个因子的乘积(1)式也成立。,6.2.3 群的性质-(4),30,课堂教育,设A为由a1an任意加括号而得到的乘积，往证A等于(1)式。 设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘： A=(B)(C) C的因子个数小于n，故由归纳假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积(D)an。由结合律， A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。,证明：,31,课堂教育,(B)(D)的因子个数小于n，再由归纳假设，(B)(D)等于按次序由左而右加括号所得的乘积： (B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1 因而 A=(B)(D)an =(a1a2)a3)an-2)an-1)an 即A等于(1)式。 证毕。,证明：,32,课堂教育,6.2.3 群的性质-(5),n个a连乘所得的积称为a的n次方，记为an。 规定： a0=1，a-n=(an)-1。 对于任意整数m，n，下面定律成立： 第一指数律：aman=am+n， 第二指数律：(am)n=amn 但一般群中第三指数律 (ab)n=anbn不成立。,33,课堂教育,定义6.2.3 若群(G, )的运算 适合交换律，则称(G, )为Abel群或交换群。 例： (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)都是无限Abel群。 (Q*, ), (R*, ), (C*, )都是无限Abel群。 实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合在矩阵的乘法下不是Abel群。 元数为1、元数为2的群都是有限Abel群。,Abel群,34,课堂教育,天才的挪威数学家Abel,35,课堂教育,设(G, )是一个群，则(G, )是Abel群的充要条件是对a,bG，有(ab)2=a2b2。 证明：必要性。 若(G, )是Abel群，即对a,bG，有ab=ba。故： (ab)2=(ab)(ab) =a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2 充分性。对a,bG，由(ab)2=a2b2，得 a-1(ab)(ab)b-1=a-1(aa)(bb)b-1 故，ba=ab，因此，(G, )是Abel群。,例：,36,课堂教育,定理6.2.5 在一个Abel群(G, )中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。 证明：考虑一个乘积a1an。设是1, , n上的一个一对一变换，欲证 a(1) a(n)=a1an 对n用数学归纳法，n=1时定理显然成立。假定n-1时定理已真，证明n时定理亦真。,6.2.3 群的性质- (6: Abel群中的性质),37,课堂教育,设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式： P=a(1)a(n) 因子an必在P中某处出现，因而P可以写成：P =(P)an(P) P或P中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律： P=P(anP)=P(Pan) =(PP)an，,证明：,38,课堂教育,现在PP中只有n-1个元素a1, , an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假定， PP=a1an-1。 因此，P=(PP)an=a1an-1an， 从而归纳法完成，定理得证。,证明：,39,课堂教育,在Abel群中，第三指数律成立： (ab)m = ambm，m为任意整数。,6.2.3 群的性质- (6: Abel群中的性质),40,课堂教育,加法群：(G, +)。 永远假定加法群是一个Abel群。 加法群中三个指数定律： (m+n)a=ma+na，m(na)=(mn)a，m(a+b)=ma+mb 思考：乘法群中ab-1在加法群中写作？,6.2.3 群的性质- (6: Abel群中的性质),41,课堂教育,作业2,P202-5 增加一问：如果是群，说明单位元和每个元素的逆元；如果不是群，如何更改此二元运算表使之成为群？,42,课堂教育,