§1.6晶体的宏观对称性和点群.ppt
1.6 晶体的宏观对称性和点群, 晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现,（a）圆 b）正方形 c）等腰梯形 d）不规则四边形, 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不 同的宏观对称性,概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的不变性, 三维情况下，正交变换的表示, 其中矩阵是正交矩阵,晶体的宏观对称性的描述, 中心反演的正交矩阵, 空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1,保持两点距离不变的变换都是正交变换。如 旋转和反射,对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变,1 立方体的对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作, 物体的对称操作越多，其对称性越高, 8个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动,4)正交变换, 1个对称操作, 立方体的对称操作共有48个,5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作,2 正四面体的对称操作,四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中, 金刚石晶格, 共有3个对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 8个对称操作,2) 绕4个立方体对角线轴转动,3)正交变换, 1个对称操作, 正四面体 对称操作共有24个,3 正六面柱的对称操作,1) 绕中心轴线转动, 5个, 3个,3) 绕相对面中心连线转动, 3个,4)正交变换,5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作, 正六面柱的对称操作有24个,2) 绕对棱中点连线转动, 1个,“对称素”简洁明了地概括一个物体的对称性,对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴,一个物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时 该轴为物体n重旋转反演轴，计为,4 对称素,一个物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时 该轴为物体n重旋转轴，计为,面对角线 为2重轴，计为2, 立方体,立方轴 为4重轴，计为4,同时也是4重旋转反演轴，计为,同时也是2重旋转反演轴，计为,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是2重旋转反演轴，计为, 正四面体,体对角线轴是3重轴 不是3重旋转反演轴,立方轴是4重旋转反演轴 不是4重轴,面对角线是2重旋转反演轴 不是2重轴, 对称素 的含义, 先绕轴转动，再作中心反演,A点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素 存在一个对称面M, 用 表示,一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群, 对称素为镜面,5 群的概念, 群代表一组“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质,1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性,2)存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A,3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,正实数群 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则,整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则, 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 连续操作,单位元素 不动操作,任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作 相当于C操作,A 操作 绕OA轴转动/2 S点转到T点,B 操作 绕OC轴转动/2 T点转到S点,S,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为, 群的封闭性,可以证明, 满足结合律,S,6 点群, 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性, 经历一个对称操作晶体不变，相应的布喇菲格子不变,描述晶体周期性的布喇菲格子, 不同的形式原子排列形成的宏观对称性，对称操作也 具有一定的限制,B点转到B点 B点必有一个格点, 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度,A和B两点等价以通过B点的轴顺时针转过,A点转到A点 A点必有一个格点,设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 来描述,晶体点群的构成, 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称素, 长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列,十种对称素, 正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列,点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群, 由对称素组合成群时，对称轴的数目 对称轴之间的夹角将受到严格的限制,两个2重轴之间的夹角只能是, 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴, 连续进行操作AB 轴上一点N回到原处，轴2转到2的位置,2个二重轴2和2,绕轴2的转动计为A,绕轴2的转动计为B,A和B均为对称操作, 是对称操作, C的操作则是绕NN轴转过角度2,理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 晶体的宏观对称只有32个不同类型,群 群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线 的反演面， 共2个,群 群加上中心反演,群 群加上反演面,群 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个,群 群加上含有n重轴的反演面，共4个,群 正四面体点群, 含有24个对称操作,群 立方点群 的24个纯转动操作,群 正四面体点群 的12个纯转动操作,群 群加上中心反演,群 立方点群, 含有48个对称操作,晶体的宏观对称只有32个不同类型,
