第13讲 古希腊三大几何作图难题与域的扩张理论.ppt
,第13讲,古希腊三大几何作图难题 与域的扩张理论,古希腊三大几何作图难题,一 古希腊三大几何作图难题,作图工具: 圆规和直尺.,圆规的功能: 可以画任意大小的圆;,直尺的功能: 可以画直线, 无刻度,不能度量线段;,作图难题: 仅用圆规和直尺解决下列问题:,(1) 三等分任意角问题;,(2) 倍立方问题:,(3) 化圆为方问题:,V,W,求作另一个立方体W,求作一个正方形 S,给定立方体V,使得体积 2|V| = |W|,给定一个圆C,使得面积 |C| = |S|.,证明 仅作a/b.,二、圆规和直尺的延伸功能:,命题1 给定长为 a 和 b 的两条线段,a,b,R,A,B,任作一角XOP,在射线OX上截取,OB=b,在射线OP上截取OP=1,连结BP,作AR/BP,则 OR=a/b.,可以作出长为ab, ab, a/b 的线段.,OA=a,?,二、圆规和直尺的延伸功能:,根据命题1, 我们初步分析一下圆规和直尺能作出的数.,F关于数的加、减、乘、除运算是封闭的，, 是 一 个 数 域 !,设已知一些数S, 利用这些已知数, 圆规和直尺能作出的所有数之集记为F,由命题1可知,三、在平面解析几何中考察圆规和直尺的延伸功能:,1）已知两点( s, t )和 B( u, v ), 直尺可以画直线 AB, 其方程为,(I) ax + by + c = 0.,其中 a, b, c 由 A, B 两点的坐标完全确定, 是已知数.,2）已知定点(s,t)和半径 r, 圆规可以画圆C, 其方程为,(II) x 2 + y 2 + gx + hy + l = 0.,其中 g, h, l 由定点A的坐标和半径完全确定, 是已知数.,古希腊三大几何作图难题,再进一步分析: bF2, F3=(F2 )是怎样的数域? 依此下推.,(iii) 圆和圆的交点, 可化为圆和直线的交点.,因此, 要分析: aF1, F2=(F1 )是怎样的数域?,(ii) 圆和直线的交点, 其坐标将涉及也仅涉及已知数的开平方运算.,我们把这一过程抽象为域的扩张问题.,对于给定的一些已知数 S, 根据命题1, 可以作出由S生成的数域(即包含S的最小数域), 记为F1=(S).,(i) 两条直线的交点, 其坐标只涉及已知数的四则运算.无 新点.,圆规和直尺还可能作出的新点有:,古希腊三大几何作图难题,域的扩张理论,设 S 是 E 的子集, 由FS 生成的 E 的子域(即 E 中包含FS 的最小子域)称为添加S于F而得的扩域. 记为F(S).,四、域的扩张理论,证明 因为 F(A)(B) 是包含 F(A) 和 B 的子域, 进而是包含 F 和 AB 的子域. 由 F(AB) 的最小性得 F(A)(B) F(AB).,定义2.2.1 设F是域E的子域, 则称E是F的扩域.,另一方面, F(AB) 是包含 F 和 AB 的子域, 也就包含 FA, 而 F(A) 是包含 FA 的最小子域, 故 F(AB) 包含 F(A) , 进而 F(AB) 是包含 F(A)B 的子域, 由 F(A)(B) 的最小性得 F(AB) F(A)(B) 。,命题2 E是F的扩域, A,B是E的子集, 则 F(A)(B)=F(AB).,域的扩张理论,定义2.2.2 设 E 是 F 的扩域, 则 E 也是 F 上的向量空间, 其维数 dimEF 称为 E 对 F 的扩张次数, 记为 E:F.,当 S=a1, a2, , an 时, 记 F(S)=F(a1, a2, , an), 并称为有限生成扩域. 特别称 F(a) 为单扩域.,定理2.2.1 设FKE是域扩张, 则 E:F=E:KK:F.,域的扩张理论,定理2.2.2 设F E, aE.,定义2.2.3 设F E, aE. 如果 a 是F上一个非0多项式的根, 则称 a 为F上的代数元, 否则称为F上的超越元.,F(a)=c0+c1a+c2 a2 +cn1an1: c0,c1,cn1 F, n=(f(x)=F(a) : F.,当a 为F上的代数元时, 称F(a)为F上的单代数扩域. 当a 为F上的超越元时, 称F(a)为F上的单超越扩域.,(1) 如果 a 是F上的代数元, 设 f(x) 是 F上以 a 为根的次数最低的首 1多项式, 则 f(x) 是不可约的（称为 a 的极小多项式), 且 F 上每个以 a 为根的多项式 g(x) 都被 f(x) 整除; 此时,(2) 如果 a 是 F上的超越元, 则F(a) : F.,域的扩张理论,定理2.2.3 从已知量的域 F 出发, 实数 a 能够用圆规和直尺作图作出的一个必要条件是 F(a):F=2的方幂.,例1 求Q( ):Q.,五. 三大几何作图难题的否定,例2 求Q( ):Q.,(1) 三等分任意角问题的否定,由 cos =4cos3(/3) 3cos(/3) 知,古希腊三大几何作图难题的否定,O,B,P,X,过点P作PBOX, 垂足为B,在射线OP上截取OP=1,则 OB=cos 。所以，已知角 等价于已知数cos 。因而,(I) 从角 能作角 /3 等价于,从数a=cos 能作数 b=cos (/3)。,b是多项式4x3 3x a的根.,(II) 已知量的数域可取为 F=Q(cos ).,(2) 倍立方问题:,(3) 化圆为方问题:,给定单位立方体V,给定单位圆C,古希腊三大几何作图难题的否定,现设 =60o, 则 F=Q(1/2)=Q,cos20o 是不可约多项式 f(x)=4x3 3x 1/2的根.,因而 Q(cos20o):Q=3 2的方幂,根据定理2.2.3, cos20o 不可能由cos60o=1/2作出.,所以, 三等分任意角是不可能作出的.,求作边长为 的立方体W, 不可能.,求作边长为 的正方形, 不可能.,F(a):F=2的方幂.,六. 定理的证明,dimEF = E:F.,域的扩张理论,定理2.2.3 从已知量的域 F 出发, 实数 a 能够用圆规和直尺作图作出的一个必要条件是,定理2.2.1 设FKE是域扩张, 则 E:F=E:KK:F.,域的扩张理论,定理2.2.2 设F E, aE.,定义2.2.3 设F E, aE. 如果 a 是F上一个非0多项式的根, 则称 a 为F上的代数元, 否则称为F上的超越元.,F(a)=c0+c1a+c2 a2 +cn1an1: c0,c1,cn1 F, n=(f(x)=F(a) : F.,当a 为F上的代数元时, 称F(a)为F上的单代数扩域. 当a 为F上的超越元时, 称F(a)为F上的单超越扩域.,(1) 如果 a 是F上的代数元, 设 f(x) 是 F上以 a 为根的次数最低的首 1多项式, 则 f(x) 是不可约的（称为 a 的极小多项式), 且 F 上每个以 a 为根的多项式 g(x) 都被 f(x) 整除; 此时,(2) 如果 a 是 F上的超越元, 则F(a) : F.,2.2 古希腊三大几何作图难题与域的扩张理论,例1 求Q( ):Q.,例2 求Q( ):Q.,作业：772、3、5 812、3,
