极点极线的简单应用.doc
极点极线的简单应用内我们半时在做儿何题时，经常可以看到些I分类似的图形。在个圆中，山圆外-点做他的 两条切线，然后连接切点弦.再引出了一系列的间懸。其实这些问题都与极点极线冇关，极点与极线在儿 何中疔若广泛的性质.如果我们把他的性质研究透彻.便可以很快的解出-些较难的儿何题。关健词,极点极线调和点列完全四边形不知道人家在平时做题的时候仃没仃将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对i些类 似的题H的做法给出些比较方便简洁的做法。让我们以厉在遇到类似的问题的时候就可以 比较迅速的找到突破11,这也是一种在学习数学屮必不可少的方法。以卜就是我和英他几位 同学总结的冇关我们在解平而几何以及平时看书所得到一些东西，京出來和人家交流一 卜，希望能够对真他人提供一些帮助。我们总结的的方法就是人家比较熟知但却比较难的一 种解法一极点极线。r定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由岡外一点 做他的两条切线，然后连接切点眩，再引出了一系列的问题。如卜而的这道题:如左图（1）所示，PS、M与）0相切J：S、7*两点, 上站为岡的任意一条割线，交ST j-JZ.求证：P. A. JZ 方四点成调和点列.*:设少交Sr J Z.联结AL. AO. BL、方O,则 由圆幕定理可知P4 PB= PL、PO= P9:.ALBO四点共関从 ifu Z-PLA= Z OB后 Z OAB= Z OLB即Z尸是么0的外角平分线但是私丄ZJZ故厶”是AALB的内角平分线。AM AC AP MB LB PB即PAAfB是调和点列。ftlJW站的任意性.但是上面的证法利用了特殊的一条割线.不能十分充分的证明对 J：任意的尢仏他与$7的交点M PABAI成调和点列。J：是我们寻找另外的方法。通过正弦定理与三角形的相似来证明I：题：PA PS sin APSA PB PS- sin PSA * AA/ SAf AAST BM SAf xiABST由正弦定理得PA _PS AS PB _ PS SBAAI SM AT BM SM BTTPBS PATFBTAS AT SB BTPA PB(2) 由此看出上述的接论是成龙的。J：是我们把尸点叫做$7直线关十恻0的极点，苴线 S诜P点关于的极线。上题只是尸点在圆外的情况,实际上户点在81内与 圆上都是存在关J：他的极线的。当尸点在關上时，尸点的极线即是尸点的切线。当P点在圆内时,我们也可以找到他的极线:如右 图，过尸点作任意两条割线3方.CD、P、P分别为 仏、8的调和点，则対J：任意的割线，尸戸为固定肖 线，则为P点关丁圆0的极线。卜面证明为固定肖线。ff：过少做弦*；在直线毋找到一点0使得OFPE点调和过0做G）O的两条切线0"、ON.运丿IJ同一法易证得力川卩三点共线，IL易证得UOP = ADOP引理丄如卜图对线段仏的内分点C和外分点ZX以及直线y方外的一点只 若 W是AAPB的平分线，且U Q调和分割则R7丄M 可过点U作石"勿，交射线J：点g,交射线J： 点F，EC AC CB CF PIT 4D BD PD:.EC= CF从向知户U丄彷亦知AT丄羽由引理1得到O0丄OP与O0丄0P从而得HJ POF三点共线，所以P F为固定直线，即尸点关于圆的极线。从而看出极点与极线在儿何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以 很快的解出一些较难的几何题。二 14M由上面的证明过程中，我们总结出性质1。性廣1尸点与过尸点作任意割线与闘和其关于圆的极线所交形成的三点为调和点列。 在研究性质1的过程中，我们发现了关J：极点与极线一个十分特殊的例子，六点共线。 如图（4）,连线 W为纟关J-M O的极线，任意作两条割线Q4、QCD分别仝 W f H、 J、联结.払、C交延长CY与勿交尸，则只T、H、I、J、六点共线。(4)证明过程如F：由引理知AH AO BH BOCJ CO DJ DO *AH _ BH _ AH+ BH _ AB AO BO AO+ BO AO+ BOCJ _ DJ_ CJ+DJ _ CD CODO CODO CO+DOHO AH+AO AO . AO+ BO 2 BOAH AH AHAB ABJO CJ+CO CO , . CO+ DO IDO CJ CJ CJCD CD考2%被宜线滋所截应用梅涅劳斯定理可知】嗨嗒孚=CP AH所以甩"共线，从Iflj STHJP五点共线。CN另一方面，联结刃；分别交少、少 H、J、由完全艸边形的调和性可知，QAHB 为调和点列，0UZQ为调和点列，是左与重介，7与/重合，故应4三点共线，所 以得到S、7、H、J、L，六点共线。为了研究极点与极线的其他性质，我们找到了一些特殊情况，试图在特殊情况中得出极 点极线的某些普通的性质。我们试着在0上取两点討、B、作他们的极线即圆的切线，而我们发现两条切线的交 点尸关丁圆的极线恰好是的连线，如右图。由此我们猜想：两点连线的的极点为此二点极线的交点。丁是我们尝试证明-般情况。如右图(5),作圆O,任取两点，联结尸0，并作出他们的极线，交召；证明夕 为 的极点，即证明O夕丄尸0由上面的性质得到7Y2?三点共线。易得到POLAB. OQICD。是得到，H为 V0O的垂心，所以刀为关川创O的极点，证毕。J：是我们得到了性廣9：两点连线的的极点为此二点极线的交点。我们从上述的性质3, J：是乂令了进步更加人胆的猜想，是否两苴线交点的极线为此二 苴线极点的连线？J：是我们乂尝试运用特殊例子，证明他的止确性，再加以严格的证明。J：是我们乂举了 一个与上面相同的特殊情况。如图(6), PA、为两条直线,而厦、方分别为他们的极点，而他们的交点尸的极线, 恰好是伙方的连线。于是我们尝试着去证明一般情况。如右图(7),.仏、09为任意的两条苴线，分别交関0 J- 一(、B与C、D、P、0分别为H8、CP关J 関的极点，.3与 CP交求证：关圜的极线为尸0M：我们由只0作两条割线过，J：是由题意可知只E、K四点调和与0、L、E、丿/四点调和，J是过 做弦皿 在肖线ZK找到一点F使得甩OS四点调和过尸做的两条切线必、FN、运用统一法易证得V必三点共线IL易证得AAFE="FE、J：是由引理1得尸丄朋，EF J OF 所以府*0共线，尸与尸車合，是为占关J-IMI 6的极线。证毕。山此，我们得到了性质4：两直线交点的极线为比两也线极点的连线。三.我们研究了那么多极点与极线的性质，然后是我们发现运极点与极线的性质，我们可 以极快的解决一些较难的几何问题。如此题：如图（8）, Q是MR?的O边上的一点，使得厶CAD= "BA、00经过 B、Q分别交AB. AD J- F、莎交DE 、G、J/为討G的屮点，求证CMA-AO.联结*；延长与方C交J尸，联结"延长与延长线交J-Z,联结 联结GP延长分别交勺方、.Q J; /、K、延长-（G与方O交J： H.1、: LDFP= UBD= ZDAC :.PF/ CA曲完全四边形的调和性AFKD四点调和，J是得到lAF KDAK FD“AT KD AF PC PC KD 可侍,=FD AK 1FD PD PD AK 2考察ADC被苴线也所截竺空些=1得到=丄.O为血的屮点LC PD AKLC 2:.CM PG2、卜両可运用极点极线PGVAO.宙丄、E、Z方四点调和，A、F、K、2?四点调和，宙性质2得到的连线为A点关的极线，J 是得到 PGVAO. . PG / AO :. CI/丄 AO证毕。如此-道复杂的几何题却利用极点极线的思想，轻松的做完了，可见极点极线在几何题 中的运用十分广泛。再例如今年全国数学联赛的二试的几何题，如卜图（9）,锐角三角形的外心O, 是边BCL的一点（不是边U的中点），Q是线段一延长线上的一点，直线劝与 交J点N,直线8与交J；点必 求证：若OC1HJZV；则/ B、C, Z四点共圆。It提供的解答，用了十分复杂H.麻烦的方法证明了当y, B、C、Q四点共恻时，OKLMN。再利用同一法证明了结论。但是若是知道极点与极线的性质，我们町以极快的证出眶 直来。证明过程如F：解如图（10）过N作圆0的两条切线PN j ON.连接QV交PO J Zo 则根据极点极线的推理可知丿/, P、E、K、Z, F, 07点共线丿么垂H J" ON. 同理可知NK垂直于MO所以点&是三角形sv的垂心。所以a匕垂H J- MN。证毕。再利用同-法，就可很快证出结论。四、总结与体会其实极点极线所涉及的内容还是卩常的丰富，而n极点极线的妙用远不止如此，我们只 足対其做了一个初步的探究。所以我们在口常做题为中还耍总结经验才能够将这些力法便用 得更好。我们所学的是冇限的，而数学是无止境的，需耍我们一步一步的探索。
