内积空间简介.pps

第九章 内积空间Inner Product Space,9.1 目的与要求,掌握内积、内积空间的概念 熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等 熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,定义:设V是R上线性空间,存在映射( ,): , 使得对任意x, y, z V, cR,有 (1). ( x, y) = ( y, x) (2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) (3). ( cx, y) = c ( x, y) (4). ( x, x) 0.且等号成立当且仅当x = 0. 则称在V上定义内积( , ). V称为内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).,对称,线性,非负,（实）内积空间,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,定义:设V是C上线性空间,存在映射( , ): 使得对任意x, y, zV, cC,有 (1). (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z) (3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) 0.且等号成立当且仅当 x = 0. 则称在V上定义内积( , ). V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间. 注1:对任意实数a, , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间. 注2:在复内积空间中,（复）内积空间,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例1: Rn1是n维欧氏空间, 若 , 定义内积如下: 该内积称为Rn1上的标准内积. Cn1是n维酉空间, 若 , 定义内积如下: 该内积称为Cn1上的标准内积.,例子,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例2: R21上对 1) 是内积 2) 非线性, 非内积 3) 未必非负, 非内积,例子,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例3: 设 , 定义 则ca, b是无限维内积空间. 例4: 设G为n阶正定阵, 对 , 定义 则Rn1是R上n维欧氏空间. G=I即例1. 例5: Rnn上定义(A, B) = tr(AB), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?,例子,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,定义:设V实内积空间, 设 x, yV, 定义x的长度为: 定义x与y的距离为: 当V是实空间时, 定义x, y的夹角的余弦为: 当V是复空间时, 定义x, y的夹角的余弦为: 当( x, y) = 0时, 称x与y正交, 记xy.,(实)内积空间_2,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,定理:设V是实的或复的内积空间,设x, yV, c为常数(实数或复数), 则 (1) (2) (Cauchy-Schwarz不等式) 当且仅当x, y线性相关时, 等号成立. (3) (三角不等式),内积空间_3,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,在Rn1中 注1: x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0; 注2: |x+y|= |x|+|y|x和y同向或有一为0; 注3: (x, y)=|x|y|cos, 其中为x与y的夹角(内积几何意义); 注4: xy时, (x,y)=(y,x)=0, |x+y|2=|x|2+|y|2 (勾股定理);,内积空间_4,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,注5: 若 两两正交, 即 则 1) 2) 注6: x称为单位向量, 若 . 一般地, 若x0, 则x/| x|是单位向量(称把x单位化). 注7: Cauchy-Schwarz不等式具体形式:,内积空间_5,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例6: 证明下列不等式成立 1) 2) 若A=(aij)nn是(对称)正定阵, 则,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,作业,作业 p294 1, 2, 3, 6, 7 补充: Rnn上定义(A, B) = tr(AB), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式： 选做 p295 5,9.2 目的与要求,掌握标准正交基、正交补空间的概念 掌握度量矩阵与内积的关系 掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系 熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件 掌握向量组的 Gram-Schmidt正交化的计算,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,标准正交基_1,定义:设 是n维内积空间V的一组基, 若 , 则称这组基是V的一组正交基, 若 ,则称这组基是V的一组标准正交基. 引理: 内积空间V中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,标准正交基_2,定理: 设V是内积空间, 是V中m个线性无关的向量, 则在V中存在两两正交的向量 , 使得 Gram-Schmidt正交化:,Schmit正交化,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,标准正交基_3,注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价. 推论: 任意n维内积空间有一组标准正交基. 注: 标准正交基可以简化内积的运算. 设 是内积空间V的标准正交基, 若 , 则 , 即 又若 , 则,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例1: R12, 在标准内积下e1, e2是标准正交基, 任意向量x=(x1, x2), 则x1=(x, e1), x2=(x, e2). 例2: 设V是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又 . 试用Gram-Schmidt方法将 化为V的一组标准正交基. 例3: 设 , 问 是否为 的一组基? 一组标准正交基?,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交补,定义:设U是内积空间V的子空间,令 U =vV| (v, u)=0,对任意uU, 则U是V的子空间, 称为U的正交补空间. 定理:设是n维内积空间, U是的子空间,则 (1) V = U U ; (2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基; (2) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例5: 若 , 且对 都有 , 则 例6: (Bessel不等式) 设 是n维内积空间V的正交向量组, y是V的任一向量, 则 且等号成立的充要条件是 例7: 设线性子空间U是齐次线性方程组Ax=0的解空间, 求U适合的线性方程组.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,度量矩阵_1,设V是n维欧氏空间, 是V的一组基,令 由内积定义知G是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设 则( x, y) = (x1, , xn) G (y1, , yn) = XGY 这里 X= (x1, , xn), Y= (y1, , yn). 因为当x0时, 必有(x, x) 0, 所以是正定阵.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,度量矩阵_2,注1: 在n维实线性空间V的基固定情况下 V上的内积 实正定矩阵. 注2: 设 是欧氏空间V的一组基, 则 为正交基G为(正定)对角阵； 为标准正交基G为单位阵.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交矩阵_1,设u1, u2, , un和v1, v2, , vn是n维欧氏空间V的两个标准正交基, T是从基u1, u2, , un到v1, v2, , vn 的过渡矩阵,即(v1, v2, , vn) =(u1, u2, , un)T.则由于 ,故有TT=I. 定义:实n阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T .,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交矩阵_2,注1:设u1,u2,un是维欧氏空间的一个标准正交基, T是正交阵, 且有 (v1,v2,vn)=(u1, u2, , un)T. 则v1,v2,vn是V的标准正交基. 注2:T是正交阵T 的列向量是标准内积空间Rn1的标准正交基.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交矩阵_3,例4: (1) 单位阵是正交阵. (2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为1. (3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为1. 是正交阵且二阶矩阵 能作为正交阵的只能是如上两种形式. (5) 置换阵是正交阵.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交矩阵_4,命题:设T, S为正交阵, 则 (1) |T | = 1. (2) T 可逆且T -1为正交阵. (3) T *为正交阵. (4) T 为正交阵. (5) TS 为正交阵. (6) T 的特征值的模长为1.,9.3 目的与要求,了解伴随变换的概念 掌握伴随变换的矩阵表示与性质,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,伴随_1,定义:设V是数域K上线性空间, 从V到K的线性映射称为线性函数. V上线性函数的全体称为V的共轭空间, 记做V*. 注:设V是n维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0vV, 则 是V上线性函数. 反之, 任一线性函数均可由上面方式实现.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,伴随_2,引理:设f是n维欧氏空间V的线性函数,则必存在V上唯一向量v,使对任意xV, 均有f(x)=(x,v). 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换算子,则存在唯一线性变换算子 ,使得对任意u,vV, 有 注1: 称为 的伴随变换. 注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,伴随_3,定理:设u1,u2,un是n维欧氏空间V的一组标准正交基,若V的线性变换 在这组基下的表示矩阵为A,则 的伴随算子 在这组基下的表示矩阵为A. 定理:设 是n维内欧氏空间V的两个线性变换,c为常数,则,9.4 目的与要求,掌握内积空间的（保积）同构的概念 熟练掌握内积空间的同构的等价命题 掌握正交算子的概念 熟练掌握正交算子的等价命题 掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应的正交算子命题,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_1,引理:设 是维欧氏空间V到W的线性映射,则下列条件等价: (1) 保持内积, (2) 保持范数, (3) 保持距离, 定义:设V,W是n维欧氏空间 是线性映射.如果 是线性空间同构且保持内积,即 则称 是欧氏空间的同构,记,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_2,定理: 设V, W是n维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价: (1) 保持内积. (2) 保持范数. (3) 保持距离. (4) 是欧氏空间同构. (5) 将V的任一标准正交基变成W的标准正交基. (6) 将V的某一标准正交基变成W的标准正交基.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_3,推论:设V, W是欧氏空间,则 dimV = dimW. 注1: 两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无关, 只与维数有关. 注2: 欧氏空间的同构是等价关系. 注3: 任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn. 意义: 对一般n维欧氏空间的研究可转化为对标准内积空间Rn的研究.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_3,定义: n维欧氏空间V上保持内积的线性算子称为正交算子或正交变换. 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价: (1) 是正交算子. (2) 保持距离. (3) 保持范数. (4) 是V的自同构. (5) 可逆且 (6) 将V的任意标准正交基变为另一标准正交基. (7) 将V的一组标准正交基变为另一标准正交基. (8) 在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵. (9) 在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_4,注1: n阶正交阵可视为某n维欧氏空间V上正交变换 在V的某标准正交基下的表示矩阵; 注2: n阶正交阵还可视为某n维欧氏空间V中某两标准正交基的过渡矩阵. 注3: 若 是正交算子, 则 1) 可逆, 且 也是正交算子; 2) 为正交算子; 3) 若|c|=1, 则 为正交算子.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交相似_1,设 是n维欧氏空间V上线性变换, u1, , un和v1, , vn分别是V的两组标准正交基, 则 定义:设A, BRnn, 若存在正交阵T, 使 则称 A, B是正交相似的.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交相似_2,注1:设A, B Rnn, 则A与B是正交相似的充分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵. 注2:正交相似是等价关系. 注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵. 注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列得到, 则A, B正交相似. 注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交相似.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_5,引理:设A为正交阵, 为A的一个复特征值, (b0), 为对应的特征向量, 则 且 注:因 , 故可设,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,正交算子_6,定理:设A为正交阵, 则存在正交阵T, 使 T -1AT 定理:设 是n维欧氏空间V的正交算子, 则存在一组标准正交基, 使得 在此基下的矩阵是,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例1:设是欧氏空间V的线性变换, 则下列命题中_不能作为是正交变换的等价命题. A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵; B. ; C. 保积同构; D. 保持距离不变. A,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例2:和矩阵 正交相似的矩阵是_. A. B. C. D. A,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例3:设 是n维欧氏空间的线性变换, 分别是 的伴随变换, 则下列命题中错误的有_个. 是单的线性变换, 则 是满的线性变换 , 对任意的 是同构变换, 则 也是同构变换 A. 0B. 1C. 2D. 3 A,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是_.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例5:设 为n阶正交矩阵, 且 则矩阵方程 的解x = _. 要点:1. 因为A是正交阵, 故A可逆, 问题的解唯一; 2.又因A是正交阵, 且 故A的第一列为-e1, 从而 .,9.5 目的与要求,掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关系 熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型 掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系不变量 一些相关的计算和证明,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,对称算子_1,定义:设V是n维欧氏空间, 是V的线性算子, 如果 , 则称 是自伴随算子(对称算子). 定理:设 是n维欧氏空间V的线性算子, 则下列条件等价： (1) 是对称算子; (2) (3) 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵; (4) 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,对称算子_2,定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子,则 的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交. 定理:设A=ARnn,则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间Rn1). 引理:设 是n维欧氏空间V上对称算子. U是 子空间. 则U也是 子空间. 定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子, 则存在V的一组标准正交基, 使 在这组基下的矩阵是对角阵. 定理:设A= ARnn, 则存在正交阵T, 使T-1AT=TAT为对角阵, 且对角线元素为A的特征值.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,对称算子_3,定理: A, B实对称矩阵, 则A, B正交相似 A, B的特征值相同. 注: 特征值是实对称矩阵相似的全系不变量. 定理:设 是n元实二次型, 是A的所有特征值, 则必存在正交线性替换 为正交阵, 使 f 的正惯性指数等于A的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A的负特征值个数, f 的秩等于A的非零特征值的个数.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例1: 设 , 求正交阵P, 使得 PAP为对角阵. 例2: 试求3阶对称矩阵使得A的特征值是2, 1, 1. 且(1,1,0)是A对应于2的特征向量.,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例3: 证明: n维欧氏空间V的两个自伴随算子 有公共由它们的特征向量组成的标准正交基的充分必要条件是 例4: 设 是m个实对称矩阵且两两乘积可交换, 求证: 存在正交矩阵P, 使 都是对角阵. 例5: 设A是实对称矩阵 是其所有特征值, 则对任意 , 都有,厦门大学数学科学学院 网址: http:/ IP: http:/59.77.1.116,例子,例6: 设 是n维欧氏空间V的自伴随算子, 且满足 . 证明: 必存在V的一组标准正交基, 使得 在该基下的表示矩阵是 例7: 设A是正定阵, k是任意正整数, 证明: 必存在正定矩阵B, 使得A= Bk. 例8: 设A是n阶可逆实矩阵, 证明: 必存在正定阵S, 正交阵U, 使得A=US.,