勾股定理典型例题详解和练习附答案解析.doc

.WORD格式.典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD GHD. AB、CD EFC EBG丄）題宜分斬本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理.心2）解題思路：可利用勾股定理直接求出各边快，再进行判斷."在段AEAF中，AF=1, AE-2,根据勾股走理，得EF = J 血 + 血=75p同理AR二2晶GH二届CD = 24计算发现（昉尸+（戈旋尸=（晅-即卫新+超戸=G0 ,根据 勾股定理的逆定理得到以AB、EF. GH为边的三角形是直角三角形.故选 B.屮解题后的慝考心1.勾股定理只适用于直甫三角形，而不适用于锐角三角形和純角三珀形.因此，解题时一定裝认真分析题目所给条件*看是否可用勾股定理来解-2在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认海 化”就是斜边而“固执般地运用公式X二 +* 其实，同样是朋0 三。不一定就等于9叭亡不一定就是斜边，A ABC不一定就是直角三甫 形.a.专业资料.整理分享.3. 直第三角形的判定条件2勾般定理是互逆的，区别在于勾股定理的运 用是一个从水形"（一个三甫形是直甫三甫形）至I）噱（川=/ +护） 的过程，而直第三角形的判定是一个从“数（一个三角形的三边満足 八二卅+酹的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程.松4. 在应用勾股定理解题时，裝全面地若虑间题，注意问题中存在的多种 可能性，瞳免漏解.初+>例2：如图，有一块直角三角形纸板肋C,两直角辺AC-6cmt BC=8cm, 现将直角边AC沿直竝AD折養，使它落在斜边虫迟上,且点<7落到点遐处, 则仞等于（）祕A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. Scm+J1）題意分析：本题肴查勾股走理的应用叙2）解題思路本题若直接在力仞中运用勾股定理是无法求得CD的 长的，因为只知道一条边,卫<7册扶，由题意可知，上仞和心劝关于直 线 对称，因而AACDAED.进一歩则W AE=AC=6cm> CD=ED, ED 丄AB.设 dgg 则在Rt A-4BC中.由勾股定理可得 j4=408（=8100,得 AB=10cm,在取乃DE 中，有应+ （1Q-6） =（8x） %解得3.心解答逸BP解题的朋二工勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。例3： 一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答解答过程设直角三甬形的三边长分别为久b如图,贝巾=?米,c+b 1010（米） a1020咪人*解題后怖思考：4这是一道阅读理解类试题.这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规， 源于凜奉，高于课本，不仅考查阅读能力.而且还除合着查数学意识和数 学综合应用能力，尤其君查数学思维能力和创新意识.解题时，一般是通 过阅读，理解概念，韋握育法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题”知识点二.构造直角三角形使用勾股定理p例鼻如图!一个扶方悴形的木柜放在墙角处（2墙面和地面均没有縫隙;'， 有一只蚂螃夙柜第月处沿着木柜表面爬到柜角G处.4（1）请你画出蚂蛾能够最快到达目的地的可能路径；*当 = 4- $U = 4, CC7l = 5Wj求蚂蚁爬过的最愆路径的长卄1題意分析：本题肴查勾股定理的应用."2)解題思路：解決此类间题的关键是把立体图形问题转化淘平而图形 问题，从而利用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意弄清哪一 条路径是最短的.屮解答过程；(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩» ABC和r蚂蚁能够最快到达目朗地閔可能路径有如圏的 g 和川5 P(2)蚂蚁沿着木柜表酝经线段耳到爬过的路径的长是4=J毕十百+则=®.,蚂掀沿着木柜表面经线段月妨到G，爬过的路径的长是歼器*总5嗡性'J(4+4+宁二唐.* 小,蛊短路径的长是心馬.a(3)作丄川G于则 所求.4解題后的思考屮转化的思想是将复朵间题转仏分解天简单的间题，或将陌生的间题转化次熟悉的间题来处理的一种思想方法.如：在许多实际问题中，首先将实际问题转化为数学问题，另外，当问题中没有给出直角三角彫时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。例£有一块直角三角形的绿地，量得两直角辺长分别背6tn, 8m现在 要将绿地扩充成等腰三第形，且扩充韶分是以8m为直甫边的直第三甬形， 求扩充后等腰三角形绿地的周长.，思路分析；此题如有图曲备变得很简单，按图形解答即可.但若没有 图形，刚需蓼讨论几种可能的情况这正是“无图题前细思考，分类讨论 保周到3心解答过程：在Rt肋U中，ZACB = 90 i4C = 8, BC = 6由勾 股定理有 AB = Wf扩充部分为RtZL4U©扩充咸等腰少0应分1以 "F三种情况：如图b AB = AD= 10时，可求CD = CB = 6 f得 曲D的周长沟32m.如图2,当AB=BD = 时，可求C7A4, 由勾股定理得：也=4击，得屈D的周长为述°+4后叫如图引25X 当占F为底时，设AD = BD = x,则CQ=不一&由勾股定理得；3 ,80分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法,可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中间小正方形的面积。(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)1) 題育分析：本題着查利用勾股定理进行图形的拼割剪接心2) 解題恵路：注意拼接过程中面和是不变的心 解答过程(1)设直角三角形的鮫长直角辺长为去较短直角边长为b则小正 方形的边长为a-b.由题意得屮a+b-5a由勾股定理，得a3+ = 1342得茁占12+<所決仗-b)2二屮十护2血=13-12 = 1 神艮卩所求的中间小正方形的面积为2 所拼成的正方形的面积)65x2 = 1次旳勺 所以可披照图甲制作.4由 ® it a-b- h由D 组成方程组解得"2卜结合題育，每个直毎三珀形的校按直角边只能在纸片6.5cm的长辺上 截取，去掉四个直甬三角形后，余下册面积为1 勺13-x3x2x4 = 13-12 = l(c2)2 ，恰好等于中间的小正方形的面积. 于是，得到以下分割拼合方法：屮r|f遇慘/ I、严解題后的思考；这是一道综合题，根据题目所提供时信息是不难解决 问题的，但是，婪注育掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决.,知识点四.连续应用勾股定理，例二如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个尊腰直角 三角形ABA】，再以等B8直角三角形启BAi的斜边为直角边向外作第3个等 BS直第三角形他,如此作下去，gOA=OB=h则第11个等睡 直弟三角形的面积灵=二祕1）題意分析；本题琴查利甲勾股定理进行归纳推理a2）解題思路！先在RiAAB0中，由0A=OB = ltb AB= 2 ?再在RlAAB Ai中，由AB = A Aj= 2求出A迅=2,；再分别求出AOBs A AB Ai s AAiBBi的面积，从中发现规律，猜想出结论屮 解答过程 *在 MAEO 中，由ZAOB=?0% OA=OB=1?可求出 AB= V2 f 3 丄aob= 2 xlx= 2 在 RtiAB Al 中，由 Z AiABPO-", AB=AAl=2恵,可求出曲日=2, S3=2 x2 x2 =1=2 在 RtAAiBBi 中，由Z1AiBBi=90°? AiB=BBi=2i 可求出 AiBi= 2./2., S3- 2 x2x*2=2=2" 在 RtAAi B2B!中,由 ZBaAiBi=PO 曲历=曲氏=2血，可“ 1求出Bi B2=4, S*-2x272x2/2-4=2=；,由此可以猜想防丫3* 解題后的思若二类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相愎 的对彖进行对上匕，作出归纳判断的一种科学研究方法.在中考数:学中苇查 类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由线织咸测使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识內在的规律.a预习导学斗下一讲拢们将讲解四辺形的应用，本讲內容是中着重点之一.如特殊 四边形（平行四辺懸、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和河定， 以艮运用这些知识解決实廊问题，中考中常以选择龜、填空龜、解答飜 证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、 学科间综合题、动点问题、折蛊间题等，这些都是热点题型.应引起同学 们高度关注4同步练习（答题时间 6。分钟）梯、选择题41. 如图，每个小正肓形的边艮为b A. B. U是小正育形的顶点，PJIJZA. 90°2.如图所示A> B. C分别表示三个村住，AB=10QD米，BC-600米,AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 化活动中心*要求这三个村庄對活动中心朗距篱相等，则活动中心P处的位置应在（）屛A. AB中点处C. AC中点处D ZC的平分线与AB的交点处a3.如图，长片体的长为15,宽为1D,高为如 点0到点C的距离为5, 貝妈蚁如果要沿着长方悴册表面从点月爬到点B,需要爬行的最短距离 是（）牢A. 5/21B 25C. W + 5D. 35二、填空题心4. 某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB = 4米，ZBAC = 3 , ZC=90因某种活动要求铺设红色地毯，则在心段楼梯所铺地毯的长 度应为“ d2j 则 S xbc=6.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm?高为6cmB如果用一根 细线从点A开始经过4个侧面缠疑一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm?如果从点丄开始经过4个侧面龜嶷旳圈到达点凤那么所用细线最短 ClTla A6cm I /A 3cm 47.图甲是我国古代薯名的杯赵爽弦酹的宗意團它是由四个全等的直 角三甫形围成的，在RtAABC中，若直角il AC=6, BC=l5,将四个貢甫三 角形中边长为6的直角辺分别向外延长一倍，得到圈乙所示的“魏学风车巴 刚这个风车的外11周长（图乙中的实竝）是B #图甲图乙38如圏，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走盒捷径”， 在花圃內走出了一条“路3他们仅仅少走了一一步路（假设2步为1米），却踩伤了花草“余29. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是亢，高为乙 若一只小虫从卫点出发沿着圆柱体的侧面爬行到U点，则小虫爬行的最短路程是（结果保留根号）.心三、解答题彳10. 如图，血F是公路？ U沟东西走向)两旁的两个村庄，卫村到公路! 的距禽乂e lkm,戸村到公路!的距离M=2kmd村在丄村的南偏东4宁 方向上心北(1) 求出止号两村之间的距离；*(2) 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站H要求该 车站到两村的距离相等，诘用尺规在图中作出点P的位置(保留渚晰的作 图痕迹.并简要写明作法人卩协热爱生命吗？那么别浪费时间因为时间是俎成生 命的材料 富兰克稱试题答案a1(M2循)米点2. %3.10, 站+咏 (或J% + 64/ )【解析】由题意得：细线从点/ 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点R其最短扶度为将长方体的四个侧面展 开即可构磁一个直角边分别为$cm和Gon的直珀三角形，所以细线的最短 长度应为10cm;当细线经过四个侧面缠绕口圈时.至燧点B的最短长度为 2旳 + 16斥(或 J36+64*)cm+J二风车 BWHS 周长=4 x(l 3+6)=765. 4#6. 2 旋 a7. 解析：(1)方法一；设与饬的交点为0,根据题意可得 zL4=Z5=45 心：ACO和都是等睡直角三角形.仪:盘。=罷、盹=2罷"心.'.人月两村之间的距离为朋=£。+月0二庞+ 2j5 = 3庞 (km)B a方法二：过点E作直的平行裁交月U的延长线于E (图略).+ 易证四辺形CDBE是矩形， CE = BD2a 利在Rt朋*中，由Z = 45可得BE = EA = 3 a卩:.AB = J評+罗=3忑(km)卩:.A E两村的距离为3血ktm 4(2)作图正确，痕迹渚晰.心”-AB作法；分别以点百月次圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧 交于两点N、屮作直线测.-直践汹交肋于点P，点F即術所求.