《复数的几何意义》教学设计.doc

复数的几何意义教学设计教学 目标1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数 式加法、减法运算的几何意义。2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。教学 重点复数的几何意义教学 难点复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。教学 方法问题启发媒体 运用计算机辅助教学设 计 说 明1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另 一方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数 学观，整体认识数学学科等的宏观教学任务。2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有 必要的。 也是不可能的。 本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动， 使整个教学更有序。 、更有效。3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排 一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可 能是一件十分轻松的事情。教学进程设计意图教一、问题情景 问题 1：对于复数 a+bi 和 c+di（a,b,c,d R），你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（ a=c 且 b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相 等。）问题 2：若把 a,b 看成有序实数对（ a,b ），则（ a,b ）与复数 a+bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）回忆旧知， 吸引学 生的注意力； 揭示确定 一个复数的条件， 为新 课的传授作必要的铺 垫。学 过 程实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应 实数轴上的 点 （ 几何模型 ）以学生熟悉的知识 为载体， 采用类比的方 法，引导学生对比、思 考、愤悱，调动他们的数形积极性和主动性， 活跃 课堂气氛， 拓展思维宽 度，从而使新课更加顺 理成章的展开。问题 3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？ 还能得出复数其他的一些性质吗？（学生猜测，讨论，形成一些共识）二、建构数学1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示 虚数。ybZ=a+biZ(a,b)oax面向全体学生 （属 基本题型），巩固概念， 体会数形结合思想， 重 视一题多变， 较全面地 理解复数、 复平面内的 点、始点为原点的向量 三者的关系。2、复数的几何意义复数 a+bi ，即点 Z（ a,b ）（复数的几何形式） 、即向量 OZ （复数的向量形式。以 O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）三者的关系如下： 巩固练习 （ 1 ）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2+i ， -1+3i ，3-2i ，-i（ 2）、“ a=0”是“复数 a+bi （a , b R）所对应的点在虚轴上”的（）。（A） 必要不充分条件 （B） 充分不必要条件（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？ 变式：第二象限的点表示的复数有何特征？问题 4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为 可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）3、复数的模（或绝对值）向量 OZ 的模叫做复数 Z=a+bi 的模（或绝对值） ，记作 Z 或 a bi 。阐明复数与实数 的联系和区别， 实数能 比较大小， 虚数不能比 较大小， 是实数的复数 能比较大小， 能比较大 小的复数只能是实数。 复数可看作是向量Z = a bi = a2 b2OZ ，向量不能比较大 小，但向量的模可以比 较大小， 从而引出复数 的模（或绝对值） 。如果 b=0，那么 Z=a+bi 就是实数 a，它的模等于 a（即实数 a 的绝对值）。通过知识的分层 练习，使学生明确复数 的模（或绝对值） ，即 点 Z 到复平面原点的距 离，会求复数的模。 （3）（ 4）中利用计算 机动画， 体会数形结合 思想， 加深数与形的相 互转化。问题 5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复 数的加法、减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作 图的方法得到吗？ y培养学生的类比猜想 能力，逐步形成“观察 类比猜想 质疑验证 应用” 获取知识的手段 和方法， 提高学生分析 问题、解决问题的能 力。 巩固练习 （1）、已知复数 Z1=3+4i ， Z2 =-1+5i ，试比较它们模的大小。 （ 2）、若复数 Z=3a-4ai（a<0） ，则其模长为 。 拓展与延伸：（ 3）满足 |z|=5（z R）的 z 值有几个？满足 |z|=5（z C）的 z 值有 几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是 什么？（4）设 ZC，满足 2<Z 3的点 Z的集合是什么图形？（结果动画演示）4、复数加法、减法的几何意义设向量 OZ1 ，OZ2分别与复数 a+bi ，c+di 对应，且OZ1 ，OZ2 不 共线，以 OZ1 ，OZ2 为两条邻边画平行四边形 OZ1ZZ 2 ，则对角线 OZ 所表示的向量 OZ 就是复数（ a+c）+（b+d）i 对应的向量。（平行四边形 法则）根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的 几何意义。（三角形法则，过 O 作与其相等的向量）例 1 训练学生对复 数几何意义的运用， 渗 透数形转化思想， 培养 学生严谨的思维品质， 有利于学生对复数几 何意义的理解。设 Z1=a+bi ， Z2 =c+di ，则 Z1- Z2 =（a-c）+（b-d ）i故 Z1 Z2 Z2Z1（a c）2 （b d） 2表明： 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的 距离。三、数学应用例 1 已知复数 z=（m2 m 6） （m2 m 2）i 在复平面内所对 应的点位于第二象限，求实数 m允许的取值范围。变式：证明对一切实数 m，此复数 z 所对应的点不可能位于第四象解不等式组；解不等式组无解）相互转化表示复数的点所在象限的问题（ 几何问题 ）数学思想：数的实部与虚部 所满足的不等式组的问题（代数问题） 数形结合、转化思想例 2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点 Z 的轨迹是什么？在理解复数有关 几何意义的基础上， 将 复数几何意义应用推 广到用复数研究解析 几何某些曲线等问题，（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1延伸：若将（ 2）中的等于改为小于呢？（轨迹分别是直线；椭圆；双曲线）（备用题：）已知，复数 Z1 =3+4i ，复数 Z 满足 Z Z1 2，求 Z 的最值。（代数方法；几何方法）四、回顾反思1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。五、作业（略）使学生进一步体会复 数减法几何意义的重 要性， 认识到复数与其 它数学内容之间的联 系。根据课堂学生的 反应，控制上课节奏； 来不及讲的话， 可将它 作为课后思考题； 重视 一题多解，一题多变， 感受数形结合的美妙。回顾、 反思打破了 原有回顾知识的格局， 主要安排体现三部分， 即知识梳理、 技巧与警 示、重要的数学思想方 法，为学生的后续学习 奠定基础提高他们的 认识水平。