集合的诞生.doc

精品资源集合的诞生在科学技术中，当一种反常现象与通常理论发生冲突时，就会出现理论方面的危机。在数学发展史上， 已经经历了三次危机：公元前 5 世纪，由于古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数而与该学派所信奉的一切数皆可用有理数来表示相矛盾，从而导致了第一次的危机；在18 世纪，由于牛顿、莱布尼兹等人在早期微积分工作中缺坚实的理论基础而出现了第二次危机；到了 19 世纪下叶，康托创立了集合论，按理这是数学史上的一大进步。但是在集合论的研究过程中，却出现了数学史上的第三次危机。这次危机是由于集合论的悖论所引起的。 所谓悖论就是逻辑矛盾。 集合论本来是论证十分严格的一个数学分支。 1903 年，英国逻辑学家，数学家，诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的罗素悖论。后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一个乡村理发师宣布一项原则： 他给而且只给本村那些不给自己刮脸的人刮脸。 于是就产生了一个问题：他给自己刮脸吗？很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则。用集合论的语言可以把这一悖论表述如下：N 是一个集合，它是由那些不属于元素x 自身的元素组成，即 N=x|x 不属于 x 。那么， N 是否属于集合 N呢？显然，无论在什么情况下都是自相矛盾的。由于 19 世纪末严格的微积分理论的建立，第一、二次的危机已经解决。然而，建立严格的微积分的理论基础是集合论，而集合论的诞生却又偏偏出现了罗素悖论，因而数学面临着更严重的危机，其理论基础也发生了动摇。 20 世纪初，罗素悖论构成的危机确实震撼了国际数学界，但是，有危机并非总是坏事，在科学中，理论的突破是通过科学革命实现的，而科学革命则往往是由危机促成的。危机是科学中新理论出现的前奏。后来的事实也证明了这一点。罗素悖论的提出，促使更多的科学家去研究集合论的无矛盾问题， 从而产生了数理逻辑的一个重要分支公理集合论。目前已形成了几个学派，各有各的看法，也各有各的道理，众说纷纭，莫衷一是。正如现实的其它分支一样，还有不少重大课题有待人们去发现和研究。自相矛盾的悖论，是数学史上一直困扰着数学家的难题之一。20 世纪英国著名哲学家、数学家罗素曾经提出过一个著名的悖论“理发师难题”，其内容如下：西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自己刮胡子 ”的人刮胡子。理发师这个拗口的规定， 对于除他自己以外的别人， 并没有什么难理解的地方。 但是回到他自己这里，问题就麻烦了。如果这个理发师不给自己刮胡子，那么按照规定，他就应该给自己刮胡子；可是他给自己刮胡子的话，按照规定他又不应该给自己刮胡子。因此，这位理发师无论是否给自己刮脸，都不符合自己的那条规定。这真是令人哭笑不得的结果。欢下载精品资源罗素还提出过与“理发师难题 ”相似的几个悖论，数学上将这些悖论统称为“罗素悖论 ”或者 “集合论悖论 ”。为什么又叫 “集合论悖论 ”呢？因为 “罗素悖论 ”都可以用集合论中的数学语言来描述，归结成一种说法就是：在某一非空全集中，有这样一个确定的集合，这个集合中“只有不属于这个集合的元素”。欢下载