用时域经典法求解微分方程.doc

例2-2-1求并联电路的端电压叩馬激励间的关系。鮮 %1I T. T T； a电阻讥）=召临）儿 % 'ic *电感/）=扛咻）J咛* 7 C=f 电容认）"赢）"dt根据 KCLiR （0+（0+让（0=is®代入上面元件伏安关系，并化简有Cd/)dr这是一个代表并联电路系统的二阶微分方程。彳列2-2-2机械位移系统，质量为加的刚体一端由弹黄牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间擦力为外加牵引力为Fs(t)，其外加牵引力代 刚体运易速度临)间的关系可以推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。例223j 3杆 2j求微分方程一比)+ 7 rt)+16一)+ 12r()= ef)dtdfdf的齐次解。 鮮釜系统的特征方程为a3 + la2 + 16a + 12 = 0 特征根(a + 2)2(a + 3)= 0cc = -2（重根），a2 = 3因而对应的齐次解为例224 给定微分方程式 叫+2立©+3心=空©+/)d/dtdt如果已知: (1)曲)=厂； e(t)= e,分别求两种情况下此 方程的特解。i (1)将/)=厂代入方程右端得到厂+2/,为使等式两端 平衡，试选特解函数式/pC) = "“2 +砂+3这里,B,馮,屍为待定系数。将此式代入方程得到 3Bj2 +(4B + SB?)/ +(2B + 2B? + 33)="2 +2/等式两端各对应幕次的系数应相等，于是有3B = 1« 4B + 3场=22Bi + 2B2 + 3B3 = 0联解得到所以，特解为1 2= 3,=亍 = -10273927(2)当/) = e时，很明显，可选r(t)=Bel这里，B是待定系数。 代入方程后有：Be( + 2Be( + 3Bef =e'+eB = -3于是，特解为*乱 上面求出的齐次解hb拆特解Hr厢加即得方程的完全靠r(O=ZAiea,7+rp(O1=1例2-2-5给定如图所示电路，（0开关S处于1的位置而且已经达到稳态。弐=0时S由1转向2。建立电流的微分 方程并求解在t n o时的变化。(r)=4V2 S妁=血O乂 A I IfC = 1乩1?2=|get)=2N(1)歹|呜电路的微分胡根据电路形式，列回路方程(KVL)尽讹)+%(” = /)vc(t)=LiL(t+iL(t)R2列结点电流方程(KCL)i(f)= C vc(f)+h(f)at先消去变量” c C),再消去变*£(4把电路参数代入整理得2(，)+7和(/)+10冷)=器e(f)+6e(f)+40(f)(2)求系统的完全响应系统的特征方程a2+7a + 10 = 0 即(a + 2Xa+5)= 0特征根= -2, a2=-5齐次解ih(t)=A2t + A2e_5z (r >0+)特解由于rn()+时e(/)=4V方程右端自由项为4x4,因此令特解代入式(1) 10B = 4x4B = = -in 5要求系统的完全响应为i(t)= A2t + A2e_5/ +|(Z>O+)（3）确定换路后的（0+并一/（0+ ）换路前2 S 妬=1。(r)=4/>(0，c (0I C = 1F e(t)=2N/(0_)=zL(0_)=AR、+ R2 5