元二次方程根的判别式的综合应用.docx
元二次方程根的判别式的综合应用四川省武胜县中心镇小学初中部曹建局一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别式=b2-4ac 。定理 1ax 2+bx+c=0(a 0) 中， 0方程有两个不等实数根.定理 2ax2 +bx+c=0(a 0)中，=0方程有两个相等实数根.定理 3ax2 +bx+c=0(a 0)中， 0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理 4ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两个不等实数根 0.定理 5ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两个相等实数根 0.定理 6ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程没有实数根 0.注意 ：（ 1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac 。（ 2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、 c 的值。 (3) 如果说方程 有实数根 ，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2- 4ac0 切勿丢掉等号。(4) 根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.二 . 根的判别式有以下应用：不解一元二次方程，判断根的情况。例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a0)解： (1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4, =b 2-4ac=3 2- 4×2×(-4)=41>0方程有两个不相等的实数根。(2) a0, 方程是一元二次方程， 此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， =( -b) 2- 4·a·0=b 2,无论 b 取任何关数，b2 均为非负数， 0，故方程有两个实数根。根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例 2k 的何值时？关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-5=0 （ 1）有两个不相等的实数根；（ 2）有两个相等的实数根；（ 3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1） 0；（ 2）=0；（ 3） 0；2解：=( -4)- 4·(k -5)=16-4k+20=36-4k（ 1）方程有两个不相等的实数根， 0，即 36-4k 0. 解得 k 9（ 2）方程有两个不相等的实数根， =0，即 36-4k =0. 解得 k=9（ 3）方程有两个不相等的实数根， <0，即 36-4k <0. 解得 k>9证明字母系数方程有实数根或无实数根。例 3求证方程 (m2+1)x 2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。分析：先求出关于x 的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：222=( -2m) -4(m +1)(m +4)242=4m-4(m +5m+4)=-4m4-16m2-16=-4(m 4+4m2+4)=-4(m 2+2) 2不论 m取任何实数 (m2+2) 2>0, -4(m 2+2) 2<0,即<0.222没有实数根。关于 x 的方程 (m +1)x-2mx+(m +4)=0小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（ 1）计算（ 2）用配方法将恒等变形（ 3）判断的符号（ 4）结论 . 其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a 2+2,(a 2+2) 2, -a 2, -(a 2+2) 2 的代数式，从而判定正负，非负等情况。应用根的判别式判断三角形的形状。例 4已知： a、b、c 为 ABC的三边， 当 m>0时，关于 x 的方程 c(x 2+m)+b(x 2-m)-2ax=0 有两个相等的实数根。求证ABC为 Rt。证明：整理原方程：22ax =0.方程 c(x +m)+b(x-m)- 2整理方程得：22cx +cm+bx -bm-2ax =02ax +cm-bm=0(c+b)x -2根据题意：方程有两个相等的实数根， =( -2a) 2-4(c+b)(cm-bm)=02224ma-4(c m-bcm+bcm-b m)=0222ma-c m+bm=0 =m(a2+b2-c 2)=0222=0222又 a,b,c为ABC的三边， ABC又 m>0,a+b -ca+b =c为 Rt 。 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例 5、（ 1）若关于 a 的二次三项式16a2+ka+25 是一个完全平方式则k 的值可能是 （ ）;（ 2）若关于a 的二次三项式ka 2+4a+1 是一个完全平方式则k 的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于 0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即 =0解：（ 1）令 16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根， =k 2- 4×16×25=0 k=+40 或者 -40（ 2）令 ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=16-4k=0k=4可以判断抛物线与直线有无公共点例 6:当 m取什么值时，抛物线与直线y=x 2m只有一个公共点？解 :列方程组消去 y 并整理得x2+x-m-1=0，抛物线与直线只有一个交点， 0，即4m+5=0(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)可以判断抛物线与x 轴有几个交点分析：抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点（）当 y=0 时，即有 ax2+bx+c=0，要求 x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点的个数是由对应的一元二次方程22ax +bx+c=0 的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax +bx+c=0 的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x 轴的交点有如下三种情形：当时，抛物线与x 轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2 +bx+c=0 的两根为x1、x2，则抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（ x1，0）（x2， 0）。当时，抛物线与 x 轴有唯一交点， 此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。当时，抛物线与x 轴没有交点。例 7、判定下列抛物线与x 轴交点的个数：（）（）（）解：（）16-12=4>0抛物线与x 轴有两个交点。（） 36-36=0抛物线与x 轴只有一个公共点。（） 4-16=-12<0抛物线与x 轴无公共点。例 8、已知抛物线（）当m取什么值时，抛物线和x 轴有两个公共点？（）当 m取什么值时， 抛物线和x 轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。（）当m取什么值时，抛物线和x 轴没有公共点？解：令 y=0，则 4-4(m-1)= -4m+8(1) 抛物线与x 轴有两个公共点， >0，即 4m+8>0m<2(2)抛物线和x 轴只有一个公共点， 0，即4m+8=0 m=2当 m=2时，方程可化为，解得 x1=x 2= -1 ，抛物线与x 轴公共点坐标为（-1,0 ）。(3)抛物线与x 轴没有公共点， <0，即 4m+8<0， m>2当 m>2时，抛物线与x 轴没有公共点。利用根的判别式解有关抛物线（>0）与x 轴两交点间的距离的问题 .分析 : 抛物线（>0）与 x 轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程的两根差的绝对值。它有以下表示方法：例 9:求当 a 为何值时 ?二次函数图象与 x 轴的两个交点间的距离是3。解：令 y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和 x2，则由得，即。进而得a=或 a=。当时，图象与x 轴两个交点间的距离是3。
