三角形的五心.docx
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和 旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心 定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可 用 燕尾定理证明，十分简单。(重心原是一个物理概念，对于等厚度 的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1。2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3个三角形面积相等。即重心到三条边的距 离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为(X1+X2+X3 ) /3 , ( Y1+Y2+Y3 ) /3 )。5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的 垂直平分线 交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若O是 ABC的外心，则/ BOC=2 / （AZ 秋锐角或直角）或/ BOC=360 -2 / A / M钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为 钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为 直角三角形 时，外心在斜边上，与斜边的中点重 合。5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个 垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG : GH=1 ： 2。(此直线 称为三角形的欧拉线(Euler line )3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论：1 .若D、E、F分别是 ABC三边的高的垂足，则/ 1 =Z2图1 )2 .三角形的垂心是其垂足三角形的内心。(图1 )3 .若D、E、F分别是 ABC三边的高的垂足，则/ 1 =/2图2 )定理证明已知： MBC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O,连接CO并延长交 AB于点F ,求证：CF ± AB证明：连接DE . / ADB= / AEB=90 .A B、D、E四点共圆 ./ ADE= / ABE又./ ODC= / OEC=90 . O D、C、E四点共圆 .ZACF= / ADE= / ABE又 vZ ABE+ / BAC=90 ./ ACF+ / BAC=90CH AB因此，垂心定理成立内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、三角形的三条内 角平分线 交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形 的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。3、P为A ABCT在空间中任意一点，点0是A ABCJ心的充要条件是：向量 P0=（a 响量 PA+b 响量 PB+c 向量 PC）/（a+b+c）.4、。为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长 AO交BC边 于 N ,贝U有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、（欧拉定理）/ ABC , R和r分别为 外接圆 为和内切圆的半径，O和I分 别为其外心和内心，则 01A2=RA2-2Rr .6、（内角平分线 分三边长度关系） ABC中，0为内心，/ A、/ B / C勺内角平分线分别交 BC、AC、AB于 Q、P、R , 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三 角 形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边的距离相等。如图，点M就是 ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的 内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心， 垂心，四心合一。巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和 旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混.重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为1s心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.外心三角形有六元素，三个内角 有三边此点定义为外心，用它可作外接圆 垂心三角形上作三高，三高必于垂心 交直角三角形有十二，构成六对相似形，内心三角对应三顶点，角角都有平分线，作三边的中垂线，三线相交共一点内心外心莫记混，内切外接是关键高线分割三角形，出现直角三对整，四点共圆图中有，细心分析可找清三线相交定共点，叫做“ 内心 ” 有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆 ， 此圆圆心称“ 内心 ”，如此定义理当然
