利用反证法证明有关异面直线问题.doc

利用反证法证明有关异面直线问题反证法在立体几何中用得较多，下面用反证法证明有关异面直线问题。例1求证：分别和两条异面直线 AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。证明：假设AC和BD不是异面直线，则 AC和BD在同一平面内，设这个平面为 a 由 ACu a, BDu a，知 A、B、C、D ，故 ABu a, CD u a。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。 例2已知a与b是异面直线，求证过a且平行于b的平面只有一个。证明：如图1,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个a和伍在直线 a上取点A，过b和A确定一个平面y且丫与a B分别交于过A点的直线c、d。由b a知b/c。同理b/d。故c/d,这与c、d相交于点A矛盾。故假设不成立。从而过a且平行于b的平面只有一个。例3 平面G平面一：=a，异面直线b，c，分别在、内.求证b，c中至少有一条与a相交.若an b = P cn a = Q在0内过P作异于a的直线b，在。内过Q作异于a的直线c，求证：b ，c为异面直线.证明：若b、c均不与a相交.a二：，b-，.a/ b，a 二，c 二，二 a / c， b / c，与题设b，c为异面直线矛盾.即b， c中至少有一条与a相交.若b，c 在同一平面内，即b，J ， Q c ,二 Q ，又 Qf b，（若 Q b，由 P b，则 b 与 a重合，与题设矛盾），过b，及Q可确定平面（即为P ），但bu V， c"u Y，及QY，从而得1、重合，同理、重合，由此得:、重合，与题设n = a矛盾.所以b，c 不可能在同一平面内，即b，c 为异面直线.例4 求证：两条异面直线有且只有一条公垂线.证明：如图，设a、b是异面直线，b二：z，all】是过a而与垂直的平面，AA 1是a、b的公垂线.假设EF也是a、b的公垂线（显然F与A不重合，E与Ai不重合），则EF丄：， 从而EF 二由A、F都在内，可得b 这与a、b是异面直线矛盾.所以，两条异面直线有且只有一条公垂线.例5如图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A a, D a，A aB b，E c，求证：BD和AE是异面直线.证明：设BD和AE不是异面直线，则 BD与AE确定面：，因此有A :, B :, E- :, D :.因为A a，所以a -.又因为P a,所以P '.因P b, B b,所以b '-.因E c, P c,所以c 1 ,这与a、b、c不共面矛盾，从而有BD和AE是异面直线.