简单的三角恒等变换基础.doc

简单的三角恒等变换（基础）【学习目标】1能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；2 掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理 问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养 利用联系的观点处理问题的能力.【要点梳理】 要点一：升（降）幕缩（扩）角公式丿 ” _ 2 2升幕公式：1 cos2： =2cos :- ,1-cos2： - 2sin :-降幕公式:cos21 cos2:2sin21 cos 2。a =要点诠释:（Xot降幕”“降利用二倍角公式的等价变形： 1cos= 2sin .辅助角公式在解题中的应用 , 1 cos= 2cos2 进行"升、22变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幕”变换，逆用上述公式即为 幂”变换.要点二：辅助角公式1.形如asi nx，bcosx的三角函数式的变形：a sin x bcosxcosx)通 过 应 用 公 式 asin x bcosx a2 b2 sin(x)( 或令 eg，爲：2- 2，则a sin x bcosx= . a2 b2 sin xcoscosxs in :=.a2 b2 sin（x ）（其中'角所在象限由a,b的符号确定，角的值由tan =-确定， asin ®, b禾口 cos = , a共同确定.）Ua2+b2Ua sin x b cosx = a2 b2 cos(o-®),将形如a si nx+bcosx ( a, b不同时为零)收缩为一个三角函数 Ja2 +b2 sin(x+®)(或Ja2+b2 cos& W) 这种恒等变形实质上是将 同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等.【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明二 si n t tan sin :-【思路点拨】观察式子的结构形式,寻找式子中:-与一之间的关系发现，利用二倍角公式2即可证明.【证明】方法sin :-a2sin cos2 2asin21 -cos：方法二:1 cos：2 a2 si n 22 a2 cos2asin2acos2a-ta n 2a a2sin cos2acos2a二 tan 2tan 2.a sin2.a sin22cos '2a cos2aacos 2cos221 -cosuatan2asin2acos2CLsin 2si n22aacos 2sin221 COS：sin -21 cosj【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.举一反三:【变式1】求证：sin :-=2tan2COS、£ =1 - tan2 2tan :-二2tan2【证明】sin := 2sinicos-cos：2 :-.=cossin2/丄2 a1ta n-2/ x 2 ot1 ta n 21 - tan2 -2aa2sin cos22sin2 cof 22 ' cos2 ： 2.2 ：' sin2a2ta n 22 «1 ta n 22 a1 - tan222cos2 sin2 一 22 a1 tan -2a2ta n 2aasin :-2sincos222 a1 -ta n22COS篇2 ：. 2cos sin2 21例 2.求证：（1） COS-： COS cos（x 亠 I '） cos（卅I；）2c x + y x _ycosx cos y = 2cos cos 2 2【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边.（2 ）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令- - x- y即可得证.【证明】（1） 'cos（隈亠卩）= cos： cos - -sin ： sin ： 又：'cosC - -） = coscos .亠sin 二 sin ： -+得1cos： cos cos（、；- ' I''） COS（：； I'）2结论得证.（2）；'cos（a + P） =cosa cos Psin a sinP 又：'cos（： - -） = cos： cos亠sin ： sin ：-+得1COS： COSCOS（、£、l;,） cos© I'）令：-二 x,:：二 y，则：.二-_y=-2 2x+yx-y 1 r.cos coscosx cos y,222小 x+yx-y.cos x cos y = 2coscos22结论得证.【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、 积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.举一反三：0 +<P日【变式 1】 求证： sin v sin = 2sin cos2 2【证 明】7 si n（x 亠 l；）=si ntcoswcosts in : sin（用 I'1） =sin 二 cos ： cossin :上面两式相加得：sinC：亠.）-sin（： - ） = 2sin ： cos :ea _cp令 > -_ h ： _ - _ ：，贝y，:2 20 +P日®.sin sin = 2sincos2 23xx2sin xtan -ta n 22cosx cos2x【变式2】求证:【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手,结论得证.3x x将右边的角x, 2x凑成2 ,-的2 2形式，注意到【证明】右边3x , 2x=2 2于是2sin xcosx cos2x2sin3x2cos更丄cos更Z12 2丿 122丿J . 3xx3x . x2 sin 一cos -cos sin 一I2222丿3x x2cos cos2 2.3xsin 23xx tan tan 左边.x22cos- -等工式成立.【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手.类型二：利用公式对三角函数式进行化简3 丁；例 3.已知.2二，试化简、1 sinv - . 1-si.2【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式:二:2 -,日42Q0 : sin,-1 :： cos:-2 2223 二 二,42从而 sin 二 cos二:02 2eesin cos 0,22-原式=-sinosE.2 2sinosE2sinE2 2 2(e21 土si n 8 = s in土 cos丨，于是利用此公式先化间I22丿0 006【解析】原式=sin +cos sin-cos2 222【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根 号里面的式子相加得2，相乘得cos2 /，因此可以“先平方暂时去掉根号”.注意到3 -2二，贝y sin r : 0, cost 0，设 x= . V sin 1 sin ，贝y xv 0,则2x2 =2 -2/1 一sir?。= 2-越= 2 cbs 又兀，故 sinA 0,从而4 22/尺ex = -. 2 -2 cos =2 sin2举一反三：【变式1】化简【解析】 cos0，则由二倍角公式得1 1一 一cos2： = cos：,2 2 ，原式11二cos-，又 _2 2 2asin 02从而1 -cos：2a=sin2即原式=si n .2类型三：利用公式进行三角函数式的求值1 ,-、1 亠 tan（二、；）-tan：-tan：例4已知sin（黒亠P）, sin（-） ，求2的值.2 3tanP tan（a + P）【解析】原式=空 jwgtan P tan（a + P）tan（:亠 ） -tan（：亠 ）（1 - tan 二 tan 1） tan2 P tan （a + P）1 -（1 - tan ： tan ：） tan2 P_tanatan P=sin a cos Pcos： sin :sin （：由sin （：1 亠）=sin ： cos 亠 cos ： sin,2得 -）=sin Leos - -cos-isin :351sin ： cos,cos ： sin -1212【总结升华】求解三角函数式的值时，一般先化简所给三角函数式，寻求它与条件的联 系，以便迅速找出解题思路.举一反三：【变式21 】 已知 sinx sin y=,cosx cosy=2，且x, y为锐角，则sin（ x+ y）33的值是（）A. 1B. 1c11c.D.32【答案】A【解析】t sin x sin y= ? , cosx cosy = 2 ,两式相加得：sin x + cosx = sin y +33cosy, sin2 x = sin2 y.又t x、y 均为锐角，ji2x =n - 2y，二 x+ y=，二 sin( x + y) = 1.2【变式2】若3 , tan( a sin a -cosa4【答案】-3【解析】 sn江an：,sina cosatana -1又 tan( a 3 ) = 2,- tan( 3 2 a ) = tan( 3 a ) a =tan( a 3 ) + a _tan(o -B) +tanot1 -tan(： - -) tan :43 ) = 2,贝V tan( 3 一 2 a )=tan a = 2.3类型四：三角恒等变换的综合应用例 5.求函数 y=sin x cosx-sinxcosx ；二 3-I思路点拨】设sinxcosx.，则sinxcosxL，然后把y转化为关于t的二次函2数，利用配方法求 y的最值.3【解析】设sin x cos= t,x ，-二IL4 4.2(in x 2cosx) =、2sin(x)224ji一兰2x * 2 - ：， t | 0, 22又 1 2sin xcosx = t ,t2 -1sinxcosx=2-t22討)2当 t =0 时,ymin当t =1时,ymax yw1 丨y 2【总结升华】本题给出了 si- cossin r - cos及sinrcosr三者之间的关系，三者知 一求二，在求解的过程中关键是利用了sin2v cos -1这个隐含条件.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=sin2x：-j3sinxsin l x n (门0 )的最小正周期为 n(I)求 的值；(n)求函数f (x)在区间0,，上上的取值范围.IL 3【解析】(I) f (x) = 1_cos2 x 3 sin 2 x2 2.311n 1sin 2 x cos2 x sin 12 x-2 2 2 6 22冗因为函数f (x)的最小正周期为 n且灼a0,所以三上=冗，解得灼=1.24)由(I)得 f (x)二sin i2x-n 1 .I 6丿2因为 0 W x W ，所以 W 2x W ，所以-1 W sin I 2x - W 1 .36662(6丿因此0 W sin x1 W 3，即f (x)的取值范围为0,3 1 .I 6丿22 2