§3.2立体几何中的向量方法(一)平行与垂直关系的向量证法.doc

高二数学(22) 立体几何中的向量方法(一)平行与垂直关系的向量证法知识点一：求平面的法向量例1.已知平面a经过三点A(1,2,3) ，B(2,0，- 1) , C(3 , - 2, 0)，试求平面a的一个法向量.解：/ A(1,2,3) , B(2,0 , - 1) , C(3 , - 2,0),AB = (1，一 2，一 4) , AC= (1，一 2，一 4),设平面a的法向量为n = (x , y, z).依题意，应有 n AB = 0 , nAC= 0.，解得x 2y 4z= 0 即 h-4y-3z=0令 y= 1,贝U x = 2.平面a的一个法向量为n= (2,1,0)【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可."用向量法”求法向量的解题步骤：(1) 设平面的一个法向量为 n =(x, y,z)；(2) 找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a = (a1,bl,c1), (a2,b2,C2)；(3) 根据法向量的定义列出方程组(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量。练习：在正方体 ABCD-ABQD中，E, F分别是BB, DC的中点，求证： AEADF的法向量.AE是平面A1D1F的法向量.证明：设正方体的棱长为1设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0) , E 1, 1, 1 ,AE = 0, 1,D= (0,0,1) , F 0, 1, 0 , A(1,0,1) .D1F = C AE D1F = 0, 1, 112£L L 1EAy(1 1 1_歩0, 2, 1 = 22=0,同理 ae ad = 0,-1 -# AE丄平面 AiDF,. AE是平面ADF的法向量.知识点二：利用向量方法证平行关系（1） 线线平行：设直线11、12的方向向量分别为 a、b，则/匚:二a/b：二a - b（2）线面平行： 由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； 设直线丨的方向向量为a，平面的法向量为匚，则1 u a _匚u a=0 ； 由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可（3）面面平行： 证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量丄/； 证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向 量平行在正方体 ABCD -AiBiGDi中，0是Bi Di的中点，求证：BC/面ODCi ."Kai BQ/AD，又 AD 二面 ODG, BQ 二面 ODG证方法一：T BiC = Ai D ,- BiC/面ODCi证法二：/ BiC = BiCi + BiB = BiO + OCi+ DiO + OD= OCi + OD .BiC , OCi, OD 共面.又 BiC -ODC,. BC/面 ODC证法三：如图建系空间直角坐标系D -xyz，设正方体的棱长为i，则可得Bi(i,i,i), C(0,i,0),BiC = ( 1,0，- 1), 1 1 0D 2，- 2，- 1， 1 10C = i-2, 2，0 .设平面ODC的法向量为n= (xo, yo, zo),n OD=0,n 06=0,2xo1§Xo +1qyo zo= 012o= o3#令 xo = 1,得 yo= 1, zo = 1 , n= (1,1 , 1).又 BQ n= 1x 1 + ox 1+( 1)x( 1)= o, BQ 丄n,.B Q/平面 ODC【反思】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC内找一向量与B1C共线；二是说明B1C能利用平面ODC内的两不共线向量线性表示，三是证明 B1C与 平面的法向量垂直.练习：如图所示，矩形ABCD和梯形BE FC所在平面互相垂直，BE / CF ,BCF =/CEF -9o , AD =、.3 , EF =2.求证：AE/平面 DCF .CBL AE, CBL BE.证明：如图所示，以点 C为坐标原点，以 CB CF和CD所在直线分别作为 x轴、y轴和z轴，建 立空间直角坐标系 C xyz.设 AB= a, BE= b, CF= c,则 C(0,0,0) , A( .3, 0, a),B( ,3, 0,0) , E( 3 , b,0) , F(0, c,0).AE= (0, b, a), CB = ( ,3 , 0,0),BE = (0 , b,0),CB AE= 0 CB BE = 0 ,从而 4所以CBL平面 ABE.因为CBL平面 DCF 所以平面 ABE/平面 DCF故AE/平面 DCF.知识点三 利用向量方法证明垂直关系(1) 线线垂直：设直线l1、12的方向向量分别为 a、b，则a_b：=ab = O(2) 线面垂直： 设直线丨的方向向量为a，平面驀的法向量为 ，则I _a/a = k：； 由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。(3) 面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量J - u -1=0 ； 由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直例3.在正方体ABCD - AiBiCiDi中，E,F分别是棱AB,BC的中点，试在棱 BB上找一点M，使得D1M丄平面EFB1.解：建立空间直角坐标系D xyz，设正方体的棱长为 2，贝U E(2,1,0) , F(1,2,0) , D(0,0,2),B1(2,2,2).设 M(2, 2, m)EF = ( -1, 1, 0)B1E= (0, -1,-2)D1M = (2, 2, m-2)/ D1M丄平面EFB D1M 丄 EF, D1M 丄 BiED1M EF = 0 D1M BE = 0干曰-2+2=0,于是l-2-2(m-2)=0, m= 1,故取BB的中点为M就能满足DM丄平面EFB.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行.练习:i .在正万体 ABCD - A BiCiDi中，E是棱BC的中点，试在棱 CCi上求一点P，使得平面 Ai Bi P I 平面 Ci DE .DiCipC2 在正三棱柱 ABCABiCi中，BQ AiB.求证:AG _ AB 证明 建立空间直角坐标系 Cixyz，设AB= a, CC= b.则 Ai -23a，I，0，B（0，a，b），Bi（0，a,0），C（0,0，b），A-a.,AiB 普a, la, b） BiC =（0, 一 a , b）, AC十乌,. . 2a 2B iC丄 A iB,. BiC Ai B = + b = 0,C（0,0,0）.而 AiC AiB3 2 i 22 a 2=4a 4a b=厂 b=0AiC 丄 AiB即AG丄AiB.课堂小结：-7 -i用待定系数法求平面法向量的步骤：(i) 建立适当的坐标系. 设平面的法向量为 n = (x , y, z).求出平面内两个不共线向量的坐标a= (ai, bi, ci), b= (a 2, b2, C2).(4)根据法向量定义建立方程组a -n = 0b -n = 0(5) 解方程组，取其中一解，即得平面的法向量 2平行关系的常用证法AB =入CD证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线 在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行.3垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直.要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直.要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直.课时 作业 、选择题1.已知A( 3 , 5 , 2) , B(-1, 2 , 1),把AB按向量a= (2,1,1)平移后所得的向量是()A.(4, 3,0)B.(4, 3, 1)C.(2, 1,0)D.(2, 2,0)答案 BAB = ( 4, 3, - 1).平移后向量的模和方向是不改变的.2 .平面a的一个法向量为(1,2,0),平面3的一个法向量为(2 , 1,0),则平面a与平面3的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C垂直D.不能确定答案 C解析/ (1,2,0) (2, 1,0) = 0 ,两法向量垂直，从而两平面也垂直.3 .从点A(2 , 1,7)沿向量a= (8,9 , 12)的方向取线段长 AB= 34，则B点的坐标为()A. ( 9, 7,7)B. (18,17 , 17)C. (9,7 , 7)D. ( 14, 19,31)答案 B解析 ，设 B (x, y, z) AB = (x -2, y+1 , z -7=X ( 8 , 9 ,- 12 ),入 >0.故 x -2=8 X ,y+1=9 X ,z -7= -12 X又( x-22+ (y+12+ (z _72 = 34 2得(17 X) 2 = 34 2 , /X >0, -X =2.x = 18,y = 17,z =-17,即B (18, 17,- 17 )4.已知 a= (2,4,5),b= (3 ,x , y)分别是直线11、丨2的方向向量，若l 1 / I 2 ,则()A.x = 6 , y = 15B15.x= 3 , y =2C.x = 3 , y = 15D15.x= 6 , y = "2答案 D解析 ti 1/12, a/ b ,-9 -则有2=3解方程得x = 6, y= 125.5若直线I的方向向量为a= (1,0,2)，平面a的法向量为u= ( 2,0，- 4)，则(A. l /aBC. laD答案B解析T U =2a , a u,. I 丄 a .I丄aI与a斜交-# -、填空题6. 已知A(1,1， 1) , B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是答案2，- 3AB = (1, 2, 2), | AB | = 3 .模为1的方向向量是±,|AB|7. 已知平面 a经过点0(0,0,0)，且e = (1,1,1)是a的法向量，M(x, y, z)是平面 a内 任意一点，贝U x, y, z满足的关系式是 .答案 x+ y+ z= 0解析 OM e= (x, y, z) (1, 1, 1) = x+y+z = 0.&若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2 , 3, 2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是 .答案 (1,4 , 5)(答案不唯一)解析 设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n= (x , y, z) , a与b的方向向量分别为n n1 = 0 ,x + y+ z= 0 ,n1 , n2 ,由题意得*即：n n2= 0 ,|2x 3y 2z= 0.解之得：y = 4x , z = 5x ,令 x= 1 ,则有 n= (1,4 , 5).三、解答题9.已知正方体 ABCD- ABGD的棱长为2 , E、F分别是BB、DD的中点，求证:(1) FC 1 II 平面 ADE(2) 平面 ADE/平面 B1C1F.Dxyz,证明如图所示建立空间直角坐标系则有 D(0,0,0)、A(2,0,0),C(0,2,0) , C(0,2,2) , E(2,2,1),F(0,0,1) , Bi(2,2,2),FC1 = (0, 2, 1)DA = （2，0，0）AE = （0，2，1）.（1）设ni=（xi , y i , z i）是平面ADE的法向量，则ni丄DA n i丄AE口 |ni DA = 2xi,(xi = 0,即，ni AE =2yi zi,zi 二 _2yi,令 zi = 2,则 yi=- 1,所以 ni= (0，- 1,2).因为 FCi ni = - 2+ 2= 0,所以 FC丄ni.又因为FCADE所以FC/平面 ADE.(2CiBi = (2, 0, 0)设n2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面BiCiF的一个法向量由 n2FC,n2丄 CiBi,In2 FCi = 2y2 Z2 = 0,-得n2C1B2x 0,_Lx2 二 0,得z2 - -2y2,令Z2 = 2得y2=- 1,所以n2 = （0，- 1,2），因为ni=圧，所以平面 ADE/平面 BGF.10.B如图所示，在棱长为 1的正方体 ABCA B' C D'中，AP= BQ= b (0<b<1)，截面PQEW A D,截面 PQGH AD .(1) 证明：平面 PQEF和平面PQGF互相垂直；(2) 证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；1(3) 若b= q,求D'E与平面PQEF所成角的正弦值.解 以D为原点，射线 DA DC DD分别为x、y、z轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直 角坐标系 D-xyz，由已知得 DF= 1 b，故 A(1,0,0) , A (1,0,1) ,D(0,0,0),D (0,0,1) , P(1,0 , b) , Q(1,1 , b) , E(1 b,1,0) , F(1 b,0,0) , G(b,1,1) , H(b,0,1)(1),证明在所建立的坐标系中，PQ = (0,1,0),PF =(-'b , 0,-b),PH=(b-d,0,1-'b),AD'=(-1,0,1),> AD=(-1,0,-1), "-1 AD ' PQ = 0AD' PF=0AD '是平面PQEF的法向量.AD ' PQ = 0 AD' PH =0 ,AD '是平面PQGH勺法向量.所以平面PQEF和平面PQG!互相垂直. 证明，因为EF = (0,-1,0),EF / PQ, | EF | = | PQ|,又PF丄PQ,所以四边形PQEF为矩形，同理四边形PQGH矩形.I PH | +|PF |在所建立的坐标系中可求得| PH | = 2 (1-b), | PF | =2 b,=2,又 | PQ| = 1,所以截面PQEF和截面PQGH勺面积之和为,2 ,是定值.(3) 解 由 知AD ' = ( 1,0,1)是平面PQE啲法向量.由P为AA'的中点可知， Q E、F分别为BB'、BC AD的中点.1 A、|cos所以E( - , 1 , 0, ), D 'E = '-, 1 , 1 ,因此D' E与平面PQEF所成角的正弦值等于2 幺丿aE, D'E> =#-13 -