二次函数与一元二次方程的关系.doc
pilot o彭绍兰X0妥点回顾对于二次函数y=ax2+bx+c(a#0),当y二0吋，函数即可化为一元二次 方程ax?+bx+c二0,这吋方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点方程 ax2+bx+c=0/的根b24ac函数的图象有两邢交点:方程有两个不相等 沟实数根b2-4ac > 0只有卡交点X方程有两个相等b?4ac二0 的实数根点方程没有实数甫如图,y=x2 -3x-4的图象，回答问题:二次函数的图象与x轴的交点A、B的坐标分别 是加，),B(,)(2)当x=()时，函数y二x2 -3x-4的值y=0求屛x2-3x-4=0的解方程书-3x-4=0的解与二次函数y=x2 -3x4的交 点的横坐栩Z间有什么疥？Ah y=x<3x-4B戈12 3/4Press me答案:(1)(2)(3)A (-1, 0) , B (4, 0)；x=-1 或 4；X=-1或4方程的解就是二次函数的交点的横处标。(4)X0观察下列图象，分别说出一元二次方?1x2-6x + 9 = 0, x2-x + 3 = 0的根的情况。答案：(1) m Y;4(2) m > 一右且加丰0;(3) m = -|.例题精析例1:已知二次函数y = mx2 + x-l.(1) 当m为何值时，函数的图象x轴有两个交点？(2) 若函数的图象与x轴有交点，求加的取值范围.(3) 当函数的图象与x轴相切时，求m的取值范围.解珂n样次函数的图象与X轴的交点 的个却%其所护备一元二次方程的 根的彳数啰烽，来确定A的取值范 围，进击逑出m的取值范围。(1) W两个交点=>A0;'敬点啟I n只有一个交点=> A=0.二小试牛刀 J° ° 1.试判断下列各函数的图象与渤有没有公共点并说明理由。(l)y = x2-x;(2)y = -x2 + 6兀 一 9; j = 3x2+6x+11.IklZ 7 ) 嗓12 3 « ( 2 若函数y二(加+ 1)兀2 一(加+ 1)兀+ 1 的图象与!轴只有一个公共点,求in,函数的图象与X轴有两个交点; ,函数的图象与X轴有一个交点;,函数的图象与X轴没有交点。Press me解析：二次函数y二(m+1) x2-(m+l)x+啲 图象与渤只有一个公共点，方程(m+1) x2-(m+l)x+1 二 0有两 个相等的实数根，即 A 二(加+1)24(加+1)二 0 解之得码=-l9m2 =3.又.a二加+1 h 0,. m主-1,5的值为3.1 2-27曲3-3思维迁移例2.（2010 漳州）阅读材料，解答问题： 例:用图象法解一元二次不等式/ - 2x-3 A 0.解:设y=x?-2x-3,则y是x的二次函数.a=l>0,.抛物线开口向上.又/ 当丫垃时,x2 2x+ 3 = 0,解得£ 二1,兀2 二 3. 抛物纟：2 - 2兀+ 3的大致图象如图所示：观察图像可知：当x Y I或兀A 3时,y > 0x2 一 2#+ 3 > 0的角军集是:x Y 1或x A 3.问题讶廉1）观察阁象，直接写出一元二次不等式/ - 2x + 3 Y啲解集；仿照出例，用图象法解一元二次不等式x2-l>0（画大致图象即可）.ress me本题要求通过对所给材料的阅读自学,运用二次函数图像的增减性(旧知识) 來解决一元二次不等式(新知识)。问题(1)据已知的图像就可得:X轴上方nyAO； X轴上=>y二0； x轴下方=>yYO. 问题(2)需依照例子，画岀图像，再据图像性质得出。这X的二次函数. 匸口向上.Oy=x -1致图象如图所示：-1 0/1働军集是：XYTIUaI.基础过关8°"1.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2-x-3与X轴的交点的个数是（B ）A.3B.2 C.l D.02已矢次函Sy=ax2+bx+c （a 主 0） 的图黑如图所祭，则下列结论正确 的是寸A.a>D B. c<0I C.Z?2-<ac< D. a + b + c>0求证j无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点能力提升。°5已知二次函数y = kx2-6x-l的图像与X轴有两个不同的交点.(1) 求k的取值范围(2) 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50.解¥ A= 36+28V B6+28Jt >0角牛 X +花二_，兀.兀2 =.kkXj2 +x22 = (x, +%2)2 2xj -x2 =50,6 o7"(-)2-2x(-) = 50,kk解之得：R = ±l.9k的取值为kA 7k的值为土 1. 艳聲/灯弓3要点小结一般地，关于X的一元二次方gax2+bx+c=0(a¥=0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(aH 0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标o 可由彳元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的姣构情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中J往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。课后练习1 已知抛物线y = x2-6x+ a与x轴有两个交点，则a的取值范围是多少？2. 已知抛物线y=x2 + px+q与兀轴的两个交点为(-2,0),(3,0),贝切、q的 值分别是須少？3. 已矢廿二次価数y = x2 + kx+k-2.判别上迩抛物线与字的交点情况；设抛破像与x轴突蕉2间的距离为2厉,求R的值."4. 设二次車数甲图象与兀轴交于两点与y轴交点点C,线段OA与OB 的长的积詹疔60(点O是坐标原点)，求加勺值.TlW势H吵应宰必
