三角形中的四心与向量.doc

三角形中的四“心”与向量 平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心）。在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。一、 重心：例1、已知是所在平面上的一点，若,则是 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】若，则，以为邻边作平行四边形，设与交于点，则为中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理亦为的中线，所以是的重心。 例2、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】上式可化为，当时，由于表示边上的中线所在直线的方向向量，故动点的轨迹一定通过的重心。例3、在内，存在一点，使最小，则点是 的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】利用解析法 设三点坐标分别为，点的坐标为， 则 当且仅当时，取最小值，即点是 的重心。例4、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，则动点的轨迹一定通过的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】由正弦定理得，故可设，则，设，则，其中为边的中点，所以三点共线，即点的轨迹是从点出发经过点的射线（除去点），故点的轨迹一定通过的重心。二、 内心 ： 例5、三个不共线的向量满足，则点一定是的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】因为均与的外角平分线垂直，所以为内心。例6、已知是所在平面上的一点，所对的边分别为，若，则是的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】因为，所以，则，所以，所以平分，同理可证：平分，平分，从而O为的内心。例7、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】上式可化为，当时，由于 表示的平分线所在直线的方向向量，故动点的轨迹一定通过的内心。三、 外心：例8、设为所在平面上一点，若，则是的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】若，则，即，则是的外心。例9、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量，所以点在的垂直平分线上，故动点的轨迹一定通过的外心。四、 垂心：例10、在同一平面上有及一点满足关系式：，则是的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】，同理,故是的垂心。例11、设为的外心，平面上一点使，则点是 的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】 而为的外心，故，即，同理，故点是的垂心。例12、为空间中一点，动点在三点确定的平面的平面内且满足，则点的轨迹一定通过的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】因为，所以，即，故点 的轨迹一定通过的垂心。例13、是所在平面上一点，若，则是 的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】若，由，同理可证，所以是 的垂心。例14、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，则动点的轨迹一定通过的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】上式可化为，所以 所以，即点在过点且垂直的直线上，故动点的轨迹一定通过的垂心。 上面我们通过看三角形中的四“心”的向量表示，得出了相当优美的结论，使我们对三角形中的四“心”有了新的认识，更好的体会到事物之间的辩证和谐的统一关系。