最新14第十四讲曲面积分与高斯公式.doc

14第十四讲曲面积分与咼斯公式泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第十四讲曲面积分与高斯公式课时数4教学 目的通过教学使学生掌握两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点 掌握高斯公式及曲面积分与路径无关的条件重 点 难 点1.重点两类曲面积分的计算方法；2 .难点高斯公式及补面法。教学提纲第十四讲 曲面积分与高斯公式1第一类曲面积分(1) 问题的提出，第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2) 第一类曲面积分的计算代入法2.第二类曲面积分(1) 问题的提出:第类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2) 计算代入法(3) 高斯公式Skip Record If.»补面法(4) 曲面积分与积分路径无关问题(5) 奇点的处理方法。教学过程与内容箕第十四讲曲面积分与高斯公式、第一类曲面积分1 问题的提出设有一块光滑的金属曲面S。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)«Skip Record 1仁处 密度为f (x,y,z),并设f在S上连续，则金属曲面S的质量M«Skip Record If.» 说明:第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关2第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面，S的方程是Z=f(x,y),«Skip Record If.»当f«Skip Record If.»l时可得空间曲面面积的计算公式，即516卩RecordIf.»例 1 : I=«Skip Record If,S 是半球面516卩 Record If.» («Skip Record If.») o【解】 Skip Record«Skip Record If.»«Skip Record«Skip Record If.»«Skip Record If.»«Skip Record If.»=«Skip Record If.»例 2 : «Skip Record If. . . »为椭球面 S:«Skip Record If. . »的动点，若 S在«Skip Record If. . . »处的切平面与«Skip Record If. . . »面垂直。(1)求点p的轨迹C ；(2 )计算«Skip Record If. »,其中«Skip Record If. »为椭球面位于C上方的部分。二、第二类曲面积分1 问题的提出磁通量问题。表示«Skip Record If. . »【说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号2第二类曲面积分计算(代入法)«Skip Record If. »用代入法计算时，一般应分成三个计算：(D«Skip Record If. » (如果曲而积分取«Skip Record If. . »的上侧取«Skip Record If. »号，如果曲面积分取«Skip Record If. »的卜侧取-号).类似有 «Skip Record If. » （如果曲面积分取«Skip Record If. . »的前侧取5心戸 Record If. »号，如果曲而积分取«Skip Record If. »的后侧取-号）。 «Skip Record If. » （如果曲面积分取«Skip Record If. . »的右侧取5心戸 Record If. »号，如果曲而积分取«Skip Record If. . »的左侧取-号）.例 3：计算曲面积分«Skip Record If. »,其中«Skip Record If. »是圆|fi|«Skip Record If. . . » «Skip Record If. »下侧。【分析】 由于在«Skip Record If.上，Skip Record If. » 所以«Skip Record If. »【点评】本题展示的化简积分的方法是非常重要的。例4：计算曲而积分«Skip Record If. »>其中«Skip Record If. »是旋转抛物而 «Skip Record If. »介于平ifi|«Skip Record If. »>&«Skip Record If. »之间的卜 侧【分析】«Skip Record If. »«Skip Record If.»可直接代公式计算，而Skip Record If.»需要分成前后两 部分分别计算.【解】（略）3 .高斯公式设D是R«Skip Record If.»内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或 逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数匕Q, R 都在D内关于x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立：«Skip Record If.»由Gauss公式可计算某些空间立体积分V= «Skip Record If.»例5 :计算Skip Record If式中S为球面«Skip Record If的内侧【解】由高斯公式知«Skip Record If.»«Skip Record If.»«Skip Record If.»«Skip Record If.»=«Skip Record If.»例6:计算曲面积分其中«Skip Record If为曲面的上侧。【分析】（补面法）本题曲面«Skip Record 不封闭，可考虑先添加一平 面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域 上直接投影即可。【解】补充曲面：C1. D取下侧则«Skip Record«Skip Record If.»«Skip Record If.»=«Skip Record If.»其中«Skip Record If为«Skip Record If与«Skip Record If所为成的 空间区域，D为平面区域«Skip Record If.»由于区域D关于x轴对称，因此又«Skip Record «Skip Record If.»=«Skip Record If.»其中Skip Record If -»<<Skip Record If. J【评注】（1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可 通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量 是大的例7 :计算Skip Record圧.外侧。【分析】该题Skip Record它们在S所包围的区域内不连续（在原点没定义，偏导数不存在），所以不能用高斯公式。【解】«Skip Record If.»由积分表达式及S的对称性知«Skip Record If所以«Skip Record记上半球（上侧）为s上，记下半球（下侧）为St«Skip Record If.» =2«Skip Record If.»«Skip Record If.» 所以Skip Record If.»4. 曲面积分与积分路径无关问题设G是空间二维单连通区域，函数P（x,y,z）、Q（x,y,z）、R（x,y,z）在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分ff Pdydz, + Qdzjdx + Rdxdy在G内与所取曲面无关而只取决于工的边界曲面(或沿G内任闭曲面的曲dP dQ 6R面积分为零)的充分必要条件是等式去+莎+石二在G内恒在成立。例8 ：设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 «Skip Record If. . . » = 0 ,其中«Skip Record If. »在（0 , + 8）内 具有一阶连续导数，且«Skip Record If. » = 1 ,求«Skip RecordIf.» .【解】由于对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 «Skip Record If. »二 0 ,所以«Skip Record If.»解得«Skip Record If.»5. 奇点的处理方法定理：设函数y,z) Q(x, y,z)尺(x,y,z)在在空间坐标系上除了点P外都有Skip Record则对任意分段光滑闭曲面Skip Record是一个定着。例9 :计算曲面积分Skip Record其中«Skip Record If是曲面«SkipRecord If的外侧。【解】Skip Record«Skip Record在在空间坐标系上除了点原点外都有©1 Record 则对任意分段光滑闭曲面Skip RecordfjPdydz+Qdzdx+Rdxdy是一个定值。把曲面«Skip Record If换成«Skip Record If.»«Skip Record If.»=«Skip Record If.»6. 对称性与轮换法例 10 :设曲面«Skip Record If. . »f 求«Skip Record If. . . ».【解】 由于曲面«Skip Record If. . »关于平面沪0对称，因此«SkipRecord If. . »=0.又曲面«Skip Record If. »具有轮换对称性，于是 «Skip Record If. »=«Skip Record If. »=«Skip RecordIf. »=«Skip Record If. »=«Skip Record If. »=«Skip Record If. »«Skip Record If. »=«Skip Record If. » 例 11 : ig;«Skip Record If求«Skip Record If.»o【解】Skip Record If.»=«Skip Record If.»=«Skip Record If.»所以«Skip Record If.»=«Skip Record If.»«Skip Record If.»=«Skip Record If.»«Skip Record If.»