[考研数学]概率论与数理统计复习题.docx

概率论与数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08，P(B| A2)0.09，P(B| A3)0.12。由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P(A1| B)P(A1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2，2，4 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？ 【 0.4 】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件=从第i箱取的零件，=第i次取的零件是一等品（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,则P(|)= 0.485二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X的概率密度函数为求：（1）常数；（2）EX；(3)P1<X<3；（4）X的分布函数F(x)解：(1)由得到1/2(2)(3)(4)当x<0时，当0x<2时，当x2时，F（x）=1故练习：已知随机变量X的密度函数为且E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X的分布函数F(x) 练习：已知随机变量X的密度函数为求：（1）X的分布函数F(x) ；（2）P0.3<X<2三、离散型随机变量和分布函数例：设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 答案：当x1时，F(x)=0; 当1x2时，F(x)=0.2; 当2x3时，F(x)=0.5;当3x时，F(x)=1 四、二维连续型随机向量例：设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：（1）联合概率密度与联合分布函数；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依题知 所以联合概率密度为当时，有所以联合分布函数 （2）； （3）练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是求：（1）关于X的边缘密度函数f X(x)；（2）PX50，Y50五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 答案： 六、协差矩阵例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为计算随机向量（XY, XY）的协差矩阵解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV（XY, XY）=DX-DY=-5故（XY, XY）的协差矩阵练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为计算随机向量（9XY, XY）的协差矩阵解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y91+2E(XY)= EXE Y12D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=8112181222D(XY)= DX + DY 2 COV(X,Y)=1221222COV（9XY, XY）=9DX-DY8 COV(X,Y)= 91281222然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。 答案 填：解：XU(0,2) ， ，求导出= （）练习：设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.八、中心极限定理例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64)P60<X<100=P-2.5<(X-80)/8<2.5=2(2.5)10.9876练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。九、最大似然估计例：设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。例：设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。解：由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。练习：设总体X的密度函数为X1,X2,Xn是取自总体X的一组样本，求参数的最大似然估计十、区间估计总体X服从正态分布N(,2), X1,X2,Xn为X的一个样本 1：2已知,求的置信度为1-置信区间2：2未知,求的置信度为1-置信区间3：求2置信度为1-的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下： 。求该校女生平均身高的95的置信区间。解： ,由样本数据得查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95的置信区间为例：从总体X服从正态分布N(，2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S20.07,试求总体方差2的置信度为0.95的置信区间。解：因为,所以的95%的置信区间为:, 其中S20.07, ,所以=（0.033,0.233）例：已知某种材料的抗压强度, 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗压强度的点估计值;(2)求平均抗压强度的95%的置信区间;(3)若已知=30, 求平均抗压强度的95%的置信区间;(4)求的点估计值;(5)求的95%的置信区间;解: (1)0(2) 因为, 故参数的置信度为0.95的置信区间是:, 经计算,s = 35.276, n =10,查自由度为9的分位数表得, ,故=432.30, 482.70(3) 若已知=30, 则平均抗压强度的95%的置信区间为:=438.90,476.09(4) =S2=1 240.28(5) 因为,所以的95%的置信区间为:,其中S2=1 240.28, ,所以=586.79,4134.27十一、假设检验1 已知方差2,关于期望的假设检验2 未知方差2,关于期望的假设检验3 未知期望,关于方差2的假设检验例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数，样本方差S 20.0169。若总体方差没有变化，即20.121，问总体均值有无显著变化？（0.05）解：原假设H0：4.55统计量，当H0成立时，U服从N（0，1）对于0.05，U0.025=1.96故拒绝原假设，即认为总体均值有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（0.05）【 不一样 】例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度kg/cm2服从正态分布. 从中选取一个容量为9的样本, 得 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 ().解： H0：u=800.采用统计量U=其中=40, u0=800, n=9, ，查标准正态分布表得=1.96|U |=,| U |<, 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算： 。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（0.1）【是】十二、证明题：例：总体, 其中是未知参数, 又为取自该总体的样本,为样本均值. 证明: 是参数的无偏估计. 证明: 因为=, 故是参数的无偏估计.例：设是参数的无偏估计量, , 证明: 不是的无偏估计量.证明：因为是参数的无偏估计量，所以，, 即,故 不是的无偏估计量. 其它证明题见同步练习46页五、50页五、十三、其它题目例：设随机变量X在区间2，5上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。解：P(X3)=d= , 则所求概率即为练习：设测量误差XN(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于XN(0，100)，则P(|X|19.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且显然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-设l= np =100×0.05=5，且YP(5),则P(Y3)=1- P(Y 2)=1-=0.875348例：对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且XN(72,),则P(X >96)=1-P(X 96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.68210