[考研数学]线性代数历年考研试题之计算题与证明题.docx

线性代数历年考研试题精解三、计算题与证明题1.(1987,)问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解 方法一: .(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组无解或无穷多解,此时.当时,方程组有无穷多解;此时,方程组的通解为为任意常数;当时,方程组无解.综上可得:(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解;(3)当时,方程组无解.方法二:方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:方程的个数等于未知数的个数;方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987;1990)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解 反证法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则.因为,所以线性无关,则.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987,)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解 由.4.(1987,)解线性方程组【考点】求解非齐次线性方程组.解 .由,得方程组有无穷多解.方程组的解,令得方程组的通解为任意常数.5.(1987,)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量.解 ,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为不为零的任意常数.6.(1988,)已知,其中,求及.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解 .【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式.7.(1988,)已知矩阵与相似:(1)求与;（2）求一个满足的可逆矩阵.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解 (1)方法一:与相似,则,即,比较系数,得.方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.8.(1988) 设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.【考点】矩阵运算的性质.解 ,所以.或,则.【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:;9.(1988,) 设向量组线性无关,且，讨论向量组的线性相关性.【考点】向量组的线性相关性的判别方法.解 方法一:设,即.因为线性无关,则,其系数行列式.(1)当为奇数,方程组只有零解,则向量组线性无关;(2)当为偶数,方程组有非零解,则向量组线性相关.方法二:显然,因为线性无关,则(1)为奇数时,则向量组线性无关;(2)为偶数时,则向量组线性相关.【注意】(1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988,) 设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,则当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多解,且,则通解(一般解)为为任意常数. *综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一.11. (1988)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.【考点】抽象矩阵是求逆.解 由可逆,且.12.(1989,)问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解 .线性方程组有解,其通解为为任意常数.13.(1989,)假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:(1)为的特征值; (2)为的伴随矩阵的特征值.【考点】特征值的概念.证 (1)设对应于特征值的特征向量为,则.(2) .14.(1989,)已知,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解 .15. (1989)设.（1）问当为何值时,向量组线性无关? （2）问当为何值时,向量组线性相关? （3）当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合. 【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式.解 方法一:(一般情形).(1)当时,线性无关;(2)当时,线性相关;(3)当时,则.方法二:(特殊情形)线性无关;当时,线性相关;令.【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.16.(1989,)设.（1）试求矩阵的特征值; （2）利用（1）的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵. 【考点】特征值的计算及特征值的性质.解 (1) ,则的特征值为.(2)设为可逆矩阵的特征值,为对应的特征向量,则,即为的特征值.所以的特征值为.17. (1989)讨论向量组的线性相关性.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论.解 参考15. (1989).答案:当时线性无关;当时线性相关.18.(1990,)设四阶矩阵且矩阵满足关系式,其中为四阶单位矩阵,表示的逆矩阵,表示的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵.【考点】解矩阵方程及矩阵的运算.解 .【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵的逆矩阵或伴随矩阵,利用或化掉或.19.(1990,)求一个正交变换化二次型成标准形.【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.解 (1)写出二次型的矩阵:.(2)求的特征值:的特征值为.(3)求的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值的线性无关的特征向量为,正交化得,单位化得.对应于特征值的线性无关的特征向量为,单位化得.(4)构造正交变换:令正交矩阵,则所求正交变换为.(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为.【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤:(1)写出二次型的矩阵;(2)求的特征值;(3)求的两两正交且单位化的特征向量;(4)构造正交变换;(5)写出二次型的标准形.20.(1990,) 已知线性方程组（1）为何值时,方程组有解?（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系;（3）方程组有解时,求出方程组的全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 参考10.(1988,),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).(1)方程组有解;(2)当时,方程组的解.方程组的导出组的解,令,得方程组的导出组的一个基础解系.令,得方程组的一个特解.则方程组的通解,其中为任意常数.21.(1990) 已知对于阶方阵,存在自然数,使得.试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).【考点】抽象矩阵求逆.证 ,所以可逆,且.22.(1990)设为矩阵计算行列式,其中为10阶单位矩阵,为常数.【考点】行列式的计算.解 .23.(1990)设方阵满足条件,其中是的转置矩阵, 为单位阵.试证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.【考点】特征值与特征向量的概念.证 设的实特征向量所对应的特征值为,则.又.【注】注意本题的是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为.24.(1991,)已知,及.（1）为何值时,不能表示成的线性组合?（2）为何值时,有的唯一的线性表示式?并写出该表示式.【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.解 可由线性表示线性方程组有解.(1)当时,线性方程组无解,不能由线性表示;(2)当时,线性方程组有惟一解,可由惟一地线性表示.此时,则,所以.25.(1991,)设是阶正定矩阵,是阶单位矩阵,证明的行列式大于1.【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.证 方法一:为阶正定矩阵,则的特征值.而的特征值分别为,则.方法二:为阶正定矩阵,则存在正交矩阵,使得,即.其中为的特征值,且.则.26.(1991,)设有三维列向量,问取何值时:（1）可由线性表示,且表达式惟一;（2）可由线性表示,且表达式不惟一;（3）不能由线性表示.【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论,等价于含有参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)当时,可由惟一地线性表示;(2)当时,可由线性表示,且表达式不惟一;(3)当时,不能由线性表示.方法二: .(1)当时,可由惟一地线性表示;(2)当时,可由线性表示,且表达式不惟一;(3)当时,不能由线性表示.【注意】(1)向量可由线性表示有解有解有解,其中.(2)本题实质上等价为问取何值时,线性方程组有惟一解,无解,有无穷多解.27.(1991)考虑二次型问取何值时,为正定二次型?【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.解 二次型的矩阵.则为正定二次型.28.(1991)试证明维列向量线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.证 维列向量线性无关.又,则,即.29.(1991)设阶矩阵和满足条件.(1)证明为可逆矩阵; (2)已知,求矩阵.【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.证 (1)由,则可逆.(2)由(1)得,.30.(1991)已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.【考点】特征值与特征向量的概念.解 设为对应于的的特征值,则.解方程组得或.【注意】(1)已知含参数的矩阵的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;(2)已知含参数的矩阵的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之.31.(1992,)设向量组线性相关,向量组线性无关,问:（1）能否由线性表出?证明你的结论.（2）能否由线性表出?证明你的结论.【考点】向量组线性相关的性质.解 (1)能由线性表出.事实上,线性无关,则线性无关,又线性相关,所以能由线性表出.(2)不能由线性表出.方法一: .方法二:假设能由线性表出.由(1)知能由线性表出,则能由线性表出,与线性无关矛盾.32.(1992,)设三阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为,又向量.（1）将用线性表出; （2）求(为自然数).【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.解 (1)解方程组得.(2).33.(1992)设为3阶矩阵,为三阶单位矩阵,满足,又知,求矩阵.34.(1992)设矩阵与相似,其中.(1)求和的值; (2)求可逆矩阵,使.【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化.解 (1)方法一:与相似,则,即,解得.方法二:显然的特征值为;有特征值.与相似,则与有相同的特征值,故.又(2)的对应于特征值的特征向量分别为,令可逆矩阵,则.【注意】(1) 对(1)求解时,若由,得有无穷多解,此时这种方法失效.(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一下吗?35.(1992)已知三阶矩阵,且的每一个列向量都是以下方程组的解:(1)求的值; (2)证明.【考点】线性方程组解的理论的应用.解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式.(2)由题意,得.若,矛盾,所以.或 由;又,则.【注意】(1) 若,则有下面两个常用的结论:.若,则齐次线性方程组有非零解.(2),即非奇异矩阵就是降秩矩阵.36.(1992)设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否是正定矩阵.【考点】正定矩阵的判别定理.解 方法一:用定义证明. ,不妨设,则,故,即是正定矩阵.方法二:用特征值证明.,即的特征值由的特征值的全部.而的特征值全大于零,则的特征值全大于零,即是正定矩阵.【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.37.(1992)设矩阵,矩阵满足,其中为三阶单位矩阵.试求出矩阵.【考点】解矩阵方程.解 由.又,则.【注意】此题也可由求解,但计算烦琐.在矩阵的运算时,应尽量应用矩阵的性质先化简.38.(1992)设线性方程组的系数矩阵为,三阶矩阵,且.试求的值.参考35.(1992)的(1).39.(1992)已知实矩阵满足条件:(1)(),其中是的代数余子式;(2).计算行列式.【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理.解 由或.又.40.(1993,)已知二次型,通过正交变换化为标准形,求参数及所用的正交变换矩阵.【考点】二次型理论;用正交变换化二次型为标准形的方法.解 二次型的矩阵,则的特征值为.由.或 由.对应于特征值的特征向量,单位化,得;对应于特征值的特征向量,单位化,得;对应于特征值的特征向量,单位化,得.则所求的正交变换矩阵.41.(1993,)设是矩阵,是矩阵,其中,是阶单位矩阵.若,证明的列向量组线性无关.【考点】抽象向量组线性相关性的判别.证 方法一:用定义证明.设,则的列向量组线性无关.方法二:用矩阵的秩证明.,则的列向量组线性无关.42.(1993)已知的两个基为与,求由基到基的过渡矩阵.【考点】过渡矩阵的概念;矩阵的运算.解 .【注意】由基到基的过渡矩阵定义为,即是向量组由线性表示的系数矩阵.43.(1993)为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)方程组有惟一解且,此时则解为.(2)当时,方程组无解.(3)当时,方程组有无穷多解,此时解为,则通解为,其中为任意常数.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当且时,方程组有惟一解,由Crammer法则得解为.(2)当时,方程组无解.(3)当时,方程组有无穷多解,且,解为,则通解为,其中为任意常数.44.(1993)设二次型经正交变换化成,其中和都是三维列向量,是三阶正交矩阵.试求常数.【考点】二次型理论.解 二次型的矩阵,其特征值为,则.(这里为什么不能用特殊方法,请读者自己思考).45.(1993)已知三阶矩阵的逆矩阵为,试求其伴随矩阵的逆矩阵.【考点】矩阵运算.解 .46.(1993)设是矩阵,是矩阵,是阶单位矩阵(),已知.试判断的列向量组是否线性相关?为什么?参考(1993,).47.(1994,)设四元齐次线性方程组（）为又已知某齐次线性方程组（）的通解为;（1）求线性方程组（）的基础解系;（2）问线性方程组（）和（）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.【考点】齐次线性方程组的基础解系;两个线性方程组的公共解.解 (1)线性方程组（）的解为.取,得所求基础解系.(2)将方程组（）的通解代入方程组（）,得.当时, 方程组（）和（）有非零公共解,且为其中为不为零的任意常数.【注意】求两个线性方程组和的公共解的方法.(1)若已知两个方程组和,则求它们的公共解就是求的解;(2)若已知一个方程组和另一个方程组的通解(方程组未知),则求它们的公共解的方法是:将的通解代入到已知方程组中,解出的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入的通解中,从而得到方程组和的公共解;(3)若已知两个方程组和的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入的通解中,从而得到方程组和的公共解.(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.本题是第二种情形.为了让读者了解两个方程组公共解的求法,下面举两例说明第一和第三种情形.(它们是本题的变形)例1 求线性方程组和的公共的非零解.解 这是第一种情形.所求公共的非零解即为方程组的非零解,可求得为,其中为不为零的任意常数.例2 已知齐次线性方程组（）的通解为,又已知某齐次线性方程组（）的通解为.求线性方程组（）和（）的非零公共解.解 令,解得.当时, 方程组（）和（）的非零公共解为其中为不为零的任意常数.请读者比较本题与例1和例2的解题思路,条件不同,解题方法也不同,虽然目的是一样的.48.(1994,)设为阶非零矩阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵.当时,证明.【考点】矩阵的乘法;伴随矩阵的性质.证 由.假设.考虑的主对角线上的元素,令,则,即的第行的元素全为零,由的任意性,得的元素全为零,即,矛盾.49.(1994)设是阶方阵,是的个特征值,是阶单位阵.计算行列式的值.【考点】特征值的性质或矩阵的对角化.解 方法一:由特征值的定义,马上得到:若为的特征值,则为的特征值(为什么?).所以的特征值为,故.方法二:有个不同的特征值,则能对角化,即存在可逆矩阵,使得.50.(1994) 设线性方程组（1）证明:若两两不相等,则此线性方程组无解;（2）设,且已知是该方程组的两个解,其中,写出此方程组的通解.【考点】非齐次线性方程组有解的判别定理;非齐次线性方程组解的性质及结构;范德蒙行列式.证 (1)(更进一步,为什么?),而因为,所以线性方程组无解.(2)经计算得,方程组有无穷多解,且对应的齐次方程组的基础解系所含解向量个数为个,取为,则此方程组的通解为,其中为任意常数.【注意】(1)求矩阵的秩时不要动不动就是初等行变换,如果变换很繁,想想能否从定义和秩的性质推导.请读者仔细体会本题的(1);(2)已知方程组的特解求其通解时,第一感应该是利用解的性质和解的结构去解决;有时对选择题或填空题还可观察出方程组的解.不管方程组是否具体知道.不要动不动就去解方程组(特别是方程组含参数时).切记切记.51.(1994,)设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.【考点】特征值与特征向量.解 .对于二重特征值应有两个线性无关的特征向量,则.【注意】(1)此类问题的理论根据是:重特征值有重数个线性无关的特征向量,即设为阶矩阵的重特征值,则有属于的个线性无关的特征向量.关键是考虑重特征值情形,最后转化为含参数的矩阵的秩的讨论.(2)矩阵能对角化(与对角矩阵相似)的重特征值有重数个线性无关的特征向量.(3)本题的等价问题是:设能对角化(与对角矩阵相似) ,求和应满足的条件.52.(1994)设是齐次线性方程组的一个基础解系.证明也是该方程组的一个基础解系.【考点】基础解系的概念.证 显然的基础解系含三个线性无关的解向量.由齐次线性方程组解的性质,知为的解.只须证明线性无关.而,即线性无关.【注意】要证明为齐次线性方程组的基础解系,必须说明:(1)是的解;(2)齐次线性方程组的未知数的个数;(3)线性无关.53.(1995,)设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.【考点】实对称矩阵对角化理论.解 设对应于特征值的特征向量为,则与正交,即,其基础解系为.令可逆矩阵,则,故.【注意】此类问题为已知矩阵的特征值和特征向量,求矩阵.问题的关键是利用矩阵与对角矩阵相似.包括两种情形:(1)已知矩阵的全部特征值和全部线性无关的特征向量,求矩阵.这时不一定是对称矩阵,只能由求;(见本题解法)(2)已知矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量,求矩阵.这时一定是对称矩阵.在求出的全部线性无关的特征向量后(利用实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交),可以两种方法处理:同(1).由求.(此时需求逆矩阵)求出的全部两两正交且单位化的特征向量,构造正交矩阵.由得.(此时不需要求逆矩阵,但多了向量组的正交单位化过程)建议读者用方法,以便统一处理这类问题.54.(1995,)设是阶矩阵,满足(是阶单位矩阵,是的转置矩阵),求.【考点】矩阵的运算性质.解 .55.(1995)已知向量组;,如果各向量组的秩分别为.证明:向量组的秩为4.【考点】向量组线性相关的性质;向量组秩的计算.解 方法一:要证向量组的秩为4,等价于证明线性无关.由,得线性无关,而线性相关,则可由线性表示,即存在,使得.令,则.又,则线性无关,故,则线性无关,所以向量组的秩为4.方法二:由,得线性无关,而线性相关,则可由线性表示,即存在,使得.则所以.56.(1995)已知二次型.（1）写出二次型的矩阵表达式;（2）用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.【考点】二次型的矩阵;用正交变换把二次型化为标准型的方法.解 (1) 二次型的矩阵,则二次型的矩阵表达式.(2)的特征多项式,则的特征值.对应的正交单位化特征向量;对应的正交单位化特征向量;对应的正交单位化特征向量.令正交矩阵,所求正交变换,二次型的标准型.57.(1995)对于线性方程组讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一(一般情形):(1)方程组有惟一解且;(2)当时,方程组有无穷多解,且则方程组的通解其中为任意常数;(3)当时,方程组无解.方法二(特殊情形):方程组的系数行列式.(1)当,即且时方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解,且则方程组的通解其中为任意常数;(3)当时,方程组无解.58.(1995)设三阶矩阵满足 ,其中列向量.试求矩阵.【考点】已知矩阵的全部特征值与全部线性无关的特征向量,求.解 由的特征值.令,则.59.(1996,)已知二次型的秩为2.（1）求参数及此二次型对应矩阵的特征值.（2）指出方程表示何种曲面.【考点】矩阵的秩;矩阵的特征值;正交变换的性质.解 (1) 二次型的矩阵.由.又的特征多项式,则的特征值.(2)二次型在某一正交变换下的标准形,则表示椭圆柱面.【注意】(1)二次型的秩即为二次型矩阵的秩;(2)正交变换不改变向量的长度,从而也不改变图形的形状.60.(1996)求齐次线性方程组的基础解系.【考点】求解齐次线性方程组.解 ,则方程组的解,令,得方程组的基础解系.61.(1996)设矩阵,（1）已知的一个特征值为3,试求;（2）求矩阵,使为对角矩阵.【考点】分块对角矩阵的性质;特征值的计算;实对称矩阵的对角化.解 (1)由.(2)由为对称矩阵,要使为对角矩阵,即将实对称矩阵对角化.由(1)得的特征值,故的特征值.又的属于特征值的正交单位化的特征向量;的属于特征值的正交单位化的特征向量.令,则.62.(1996)设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即.试证明:向量组线性无关.【考点】向量组的线性相关性的判别; 齐次线性方程组的基础解系的性质.解 方法一:设,即等式两边左乘,得,则.由线性无关,得,所以线性无关.方法二:由,得若线性相关,显然线性无关,则可由线性表示,即是的解,矛盾.所以线性无关,则,故即向量组线性无关.63.(1996)已知线性方程组讨论参数取何值时,方程组有解,无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论.解 (1)当时,方程组无解;(2)当时,方程组有解;当时,方程组有无穷多解,且方程组的通解,其中为任意常数;当时,方程组有无穷多解,且方程组的通解,其中为任意常数.【注意】此题为什么不用特殊情形下的方法二呢?请读者思考.64.(1996)设有4阶方阵满足条件,其中是4阶单位阵.求方阵的伴随矩阵的一个特征值.【考点】特征值的计算及性质.解 由为的特征值.由,则的一个特征值为.【注意】为的特征值.65.(1997)设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.【考点】齐次线性方程组的基础解系;非齐次线性方程组解的性质;Schmidt正交化过程.解 先求的基础解系.由的基础解系含个线性无关的解向量.显然线性无关,则为的一个基础解系.将正交单位化得的解空间的一个标准正交基:.66.(1997)已知是矩阵的一个特征向量.（1）试确定参数及特征向量所对应的特征值;（2）问能否相似于对角矩阵?说明理由.【考点】特征值与特征向量的概念;矩阵能对角化的判别.解 (1)由.(2) ,且只有一个线性无关的特征向量,所以不能相似于对角矩阵.67.(1997)设是阶可逆阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.（1）证明可逆; （2）求.【考点】初等矩阵及其性质.解 .(1) 可逆.(2) .68.(1997)已知,且,其中是三阶单位矩阵,求矩阵.【考点】求解矩阵方程.解 由.69.(1997)为何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论.解 方法一(一般情形):方程组改写为. (1)当且时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解,且,解为,通解为,为任意常数;(3)当时,方程组无解.方法二(特殊情形): .(1)当且时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解,且通解为,为任意常数;(3)当时,方程组无解.【注意】为了计算简便,在方法一中将方程组先交换未知量的次序.70.(1997,)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.（1）计算并化简;（2）证明:矩阵可逆的充分必要条件是.【考点】分块矩阵的运算;矩阵可逆的充分必要条件.解 (1) .(2) 由(1)得.71.(1997)设三阶实对称矩阵的特征值是;矩阵的属于特征值的特征向量分别是.（1）求的属于特征值3的特征向量;（2）求矩阵.【考点】已知的全部特征值和部分线性无关的特征向量,求.解 (1)设的属于特征值3的特征向量为,则,其中的常数.(2)令,则.72.(1997)设矩阵与相似,且.(1)求的值; (2)求可逆阵,使.【考点】相似矩阵的性质;矩阵的对角化.解 (1)的特征值为.由.(2) 的对应于特征值的线性无关的特征向量;的对应于特征值的线性无关的特征向量.令,则.73.(1998)已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程,求的值和正交矩阵.【考点】特征值的性质;二次型化成标准形的方法与理论.解 二次型的矩阵,其特征值.由.属于的正交单位化特征向量;属于的正交单位化特征向量;属于的正交单位化特征向量.则所求正交矩阵.74.(1998)设是阶矩阵,若存在正整数,使线性方程组有解向量,且.证明:向量组是线性无关的.【考点】抽象向量组线性相关性的判别.解 设,由,得.同理可得.75.(1998)已知线性方程组（）的一个基础解系为.试写出线性方程组（）的通解,并说明理由.【考点】齐次线性方程组解的结构.解 记方程组（）为,则;记方程组（）为,则,故方程组（）的基础解系含个线性无关的解向量.又,则的列向量组,即的行向量组为方程组（）的解向量;由,知的行向量组线性无关,故的行向量组为方程组（）的基础解系,所以方程组（）的通解为为任意常数.76.(1998)设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,求.【考点】矩阵的运算;解矩阵方程.解 由.77.(1998)已知,问（1）取何值时,不能由线性表示?（2）取何值时,可由线性表示?并写出此表示式.【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论.解 (1)当时,不能由线性表示;(2)当时, ,则,可由线性表示;若,得为任意常数;若,得.【注意】(1) 向量可由线性表示有解.(2)其表达式中的系数就是线性方程组的解.(3)此题为什么不能用特殊情形下的方法二求解,请读者思考.78.(1998,)设向量都是非零向量,且满足条件.记阶矩阵.求:（1）;（2）矩阵的特征值和特征向量.【考点】矩阵的运算;特征值的性质;特征向量的计算.解 (1) .(2)设为的特征值,则为的特征值.由(1)知,则的特征值全为零,即,故,即的特征值全为零.方程组的非零解即为的特征向量.不妨设,有则的特征向量:为不全为零的常数.79.(1998)设矩阵,矩阵,其中为实数,为单位矩阵.求对角矩阵,使与相似,并求为何值时,为正定矩阵.【考点】特征值的计算及性质;实对称矩阵的对角化理论.解 为对称矩阵,则也是对称矩阵.又的特征值为,则的特征值为则存在正交矩阵,使得.为正定矩阵的特征值全大于零且.80.(1998)已知下列非齐次线性方程组(),()() ()(1)求解方程组(),用其导出组的基础解系表示通解.(2)当方程组()中的参数为何值时,方程组()与()同解.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 (1)则方程组()的通解为任意常数.(2)将方程组()的通解代入方程组(),解得.此时方程组()的增广矩阵则方程组()的通解为任意常数.与方程组()的通解相同.【注意】方程组()的通解代入方程组(),解得,只表示方程组()的解是方程组()的解.81.(1999,)设矩阵,其行列式,又的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为,求和的值.【考点】伴随矩阵的性质;特征值与特征向量的概念;行列式的计算.解 由和,得.又,则,即,与一起解得.82.(1999)设为阶实对称矩阵且正定,为实矩阵,为的转置矩阵,试证:为正定矩阵的充分必要条件是的秩.【考点】正定矩阵的定义;齐次线性方程组解的理论.解 显然为对称矩阵.为正定矩阵 .【注意】正定矩阵的定义也是证明对称矩阵为正定矩阵的常用方法.83.(1999)设矩阵，矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解 由,得.84.(1999)设向量组:（1）为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量用线性表示;（2）为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.【考点】向量组线性相关性的判别;向量组的秩及其极大线性无关组.解 (1) 线性无关,且则.(2)当时,