空间直角坐标系坐标转换方法.docx

学习必备欢迎下载坐标转换方法空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。 在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。如图 5.7，直角坐标系 XYZ ，P 点的坐标为（ x, y, z），其相应的在 XY 平面， XZ 平面， YZ 平面分别为 M （ x, y,0）， Q（ x,0, z）和 N（0, y, z）。图 5.7 直角坐标系 XYZ设 ? 表示第 j 轴的旋转角度， R j ( ?) 表示绕第 j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。 很明显当 j 轴为旋转轴时， 它对应的坐标中的 j 分量是不变的。 由于直角坐标系是对称的， 下面我们以绕 Z 轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。设图 5.7 的坐标绕 Z 轴逆时针旋转 角度，新坐标为 X 'Y'Z' ，如图 5.8 所示：图 5.8 坐标绕 Z 轴逆时针旋转角度由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图学习必备欢迎下载5.9 所示：图 5.9 坐标绕 Z 轴逆时针旋转 角度的 XY 平面示意图点 M X和点MX'分别是M 点在X轴和 X '轴的投影。如图 5.9xOM XOM cosMOM XOM cos()yMM XOM sinMOM XOM sin(（ 5-1）)xOM XOM cosMOM XOM cos（ 5-2）yMM X OM sinMOM XOM sin把（ 5-1）式按照三角函数展开得：xOM coscosOM sinsin（ 5-3）yOM sincosOM cos sin把（ 5-2）式代入（ 5-3）式得：xx cosy sinyx sin（ 5-4）y cos坐标中的 z 分量不变，即 z = z'这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示旧坐标）xx cosy sinyx sin（ 5-5）y coszz把式（ 5-5）用一个坐标旋转变换矩阵RZ( )表示可以写成：学习必备欢迎下载xx（ 5-6）yRZ () yzzcossin0）RZ( )sincos（ 5-70001坐标系 X 'Y'Z'是坐标系 XYZ 绕 Z 轴逆时针旋转 角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系XYZ 是坐标系 X 'Y'Z'绕 Z'轴逆时针旋转 - 角度而来，所以根据（ 5-6）式有：xx（ 5-8）yRZ ( ) yRz 1( ) Rz( )zz