七行测解题技巧二_9297.docx

学习必备欢迎下载七抽屉问题三个例子：（1） 3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2 个苹果。（2） 5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了2 块手帕。（3） 6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有1 个鸽笼至少飞进2 只鸽子。我们用列表法来证明例题（1）：放法种种种种抽屉第1个抽屉3 个2 个1 个0 个第2个抽屉0 个1 个2 个3 个从上表可以看出，将3 个苹果放在 2 个抽屉里，共有4 种不同的放法。第、两种放法使得在第1 个抽屉里，至少有2 个苹果；第、两种放法使得在第 2 个抽屉里，至少有 2 个苹果。即：可以肯定地说，3 个苹果放到 2 个抽屉里，一定有1 个抽屉里至少有2 个苹果。由上可以得出：题号物体数量抽屉数结果（ 1）苹果3 个放入 2 个抽屉有一个抽屉至少有2 个苹果（ 2）手帕5 块分给 4个人有一人至少拿了2 块手帕（ 3）鸽子6 只飞进 5 个笼子有一个笼子至少飞进2 只鸽上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有个这样的物体。从而得出：2抽屉原理1：把多于n 个的物体放到n 个抽屉里， 则至少有一个抽屉里有2 个或2 个以上的物体。再看下面的两个例子：（ 4）把 30 个苹果放到 6 个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于 5？（ 5）把 30 个以上的苹果放到 6 个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于 5？学习必备欢迎下载解答 : （ 4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放5 个苹果；（ 5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6 个苹果。从上述两例中我们还可以得到如下规律：抽屉原理 2：把多于 m×n个的物体放到 n 个抽屉里， 则至少有一个抽屉里有 m1 个或多于 m l 个的物体。可以看出，“原理 1”和“原理 2”的区别是：“原理 1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理 2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。以上两个原理， 就是我们解决抽屉问题的重要依据。 抽屉问题可以简单归结为一句话：有多少个苹果， 多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。 解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。我们先从简单的问题入手：（1） 3 只鸽子飞进了2 个鸟巢，则总有1 个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案：2 只）（2）把 3 本书放进2个书架，则总有1个书架上至少放着几本书？（答案：2本）（3）把 3 封信投进2个邮筒，则总有1个邮筒投进了不止几封信？（答案：1封）（4） 1000 只鸽子飞进 50 个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案： 1000÷50 20，所以答案为 20 只）（ 5）从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案： 17÷82 1，2 1 3，所以答案为 3 ）（ 6）从几个抽屉中（填最大数）拿出25 个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了 7 个苹果？（答案： 25÷ 6，可见除数为 4，余数为 1，抽屉数为4，所以答案为 4 个）抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面（1）、（ 2）、（ 3）题，讲的就是这些原理。上面（4）、（ 5）、（ 6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零， 则“答案”为商加1；若余数为零，则“答案”为商。其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。例 1：某班共有13 个同学，那么至少有几人是同月出生？（）学习必备欢迎下载解 1：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”， 那么问题就变成： 13 个苹果放 12 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理1”】例 2：某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30 分。为保证有2 人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（）A. 30 B. 31 C. 32 D. 33解 2：毫无疑问， 参赛总人数可作“苹果”， 这里需要找“抽屉”， 使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有1 个“抽屉”里，有 2 人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分， 满分是 30 分，则一个人可能的得分有31 种情况（从 0分到 30 分），所以“苹果”数应该是31 1 32。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”】例 3.在某校数学乐园中， 五年级学生共有400 人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1 岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400 个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？解 3：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1 岁，所以这400 名学生出生的日期总数不会超过366 天，把 400 名学生看作 400 个苹果， 366 天看作是366 个抽屉，（若两名学生是同一天出生的， 则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这 400 个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有 2（400÷3661 1， 1 1 2）个苹果”。即：一定能找到 2 个学生，他们是同年同月同日出生的。例 4：有红色、白色、黑色的筷子各10 根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？1）解 4：把3 种颜色的筷子当作3 个抽屉。则：（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4 根筷子，才能保证有2 根同色筷子； （ 2）从最特殊的情况想起， 假定 3 种颜色的筷子各拿了3 根，也就是在 3 个“抽屉”里各拿了3 根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1 根筷子，就有4 根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×31 10（根）筷子，就能保证有4 根筷子同色。例 5.证明在任意的37 人中，至少有4 人的属相相同。解 5：将 37 人看作 37 个苹果， 12 个属相看作是12 个抽屉， 由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有 4 个苹果”。即在任意的 37 人中，至少有 4 （37÷123 1， 3 1 4）人属相相同。学习必备欢迎下载例 6：某班有个小书架， 40 才能保证至少有 1 个同学能借到个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，2 本或 2 本以上的书？分析：从问题“有1 个同学能借到2 本或 2 本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2 个或 2 个以上的苹果”。 所以我们应将40 个同学看作40 个抽屉， 将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。解 6：将个抽屉中至少有本书。40 个同学看作40 个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一2 个苹果，苹果数应至少为40 1 41（个）。即：小书架上至少要有41下面我们来看两道国考真题：例 7：（国家公务员考试 20XX年 B 类第 48 题的珠子问题）：有红、黄、蓝、白珠子各 10 粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？（）A3 B4 C5 D6解 7：把珠子当成“苹果”，一共有 10 个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证摸出的珠子有 2 颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了 4个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸1 个，则一定有一个“抽屉”有2 颗，也就是有2 颗珠子颜色一样。答案选C。例 8：（国家公务员考试 20XX年第 49 题的扑克牌问题）：从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张牌，才能保证至少 6 张牌的花色相同？A 21 B 22 C 23 D24解 8：完整的扑克牌有 54 方块、大王、小王），为保证有张，后两个“抽屉”里各放了张，看成 54 个“苹果”， 抽屉就是6 个（黑桃、红桃、梅花、6 张花色一样，我们假设现在前4 个“抽屉”里各放了51 张，这时候再任意抽取1 张牌，那么前 4 个“抽屉”里必然有 1 个“抽屉”里有6 张花色一样。答案选C。归纳小结：解抽屉问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“抽屉”，再结合两个原理进行相应分析。 可以看出来， 并不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显，有时候“抽学习必备欢迎下载屉”需要我们构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这个范围。六行程问题【例 1】 (20XX 年北京市社招第21 题 ) 2 某单位围墙外面的公路围成了边长为300 米的正方形， 甲乙两人分别从两个对角沿逆时针同时出发，如果甲每分钟走90 米，乙每分钟走70 米，那么经过 ( ) 甲才能看到乙A.16 分 40 秒 B.16 分 C.15 分 D.14 分 40 秒【答案】A。【解析】这道题是一道较难的行程问题， 其难点在于“甲看到乙”这个条件。 有一种错误的理解就是“甲看到乙”则是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙， 也就是甲、 乙之间的距离小于 300 米时候甲就能看到乙了， 其实不然。考虑一种特殊情况，就是甲、 乙都来到学习必备欢迎下载了这个正方形的某个角旁边，但是不在同一条边上，这个时候虽然甲、乙之间距离很短，但是这时候甲还是不能看到乙。 由此看出这道题的难度甲看到乙的时候两人之间的距离是无法确定的。有两种方法来“避开”这个难点解法一：借助一张图来求解虽然甲、 乙两人沿正方形路线行走， 但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线行走，甲、乙的初始状态如图所示。图中的每一个“格档”长为 300 米，如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间，甲、乙能走入同一格档？”观察题目选项，发现有15 分钟、 16 分钟两个整数时间，比较方便计算。因此代入15分钟值试探一下经过15 分钟甲、乙的位置关系。经过15 分钟之后，甲、乙分别前进了90×15 1350 米 (4 ×300 150) 米70×15 1050 米 (3 ×300 150) 米也就是说， 甲向前行进了 4 个半格档， 乙向前行进了 3 个半格档， 此时两人所在的地点如图所示。甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。这时甲、乙两人相距300 米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为300 米时，甲就能看到乙的话就会出错。考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走150 米，来到拐弯处的时候，乙行走的路程还不到 150 米。此时甲只要拐过弯就能看到乙。因此再过150/90 1 分 40 秒之后，甲恰好拐过弯看到乙。所以甲从出发到看到乙，总共需要16 分 40 秒，甲就能看到乙。这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。解法二：考虑实际情况学习必备欢迎下载由于甲追乙， 而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。 也就是说甲从一个顶点出发， 在到某个顶点时， 甲就能看到乙了。题目要求的是甲运动的时间， 根据上面的分析可知， 经过这段时间之后， 甲正好走了整数个正方形的边长，转化成数学运算式就是90×t 300×n选项其中， t 是甲运动的时间，n 是一个整数。带入题目四个选项，经过检验可知，只有16 分 40 秒过后，甲运动的距离为A90×（ 16×60 40)/60 1500 300×5符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求，它是正确答案。八“牛吃草”问题牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草， 这块地既有原有的草， 又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件， 进行对比分析， 从而求出每日新长草的数量， 再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1（牛的头数×吃草较多的天数牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数吃的较少的天数） =草地每天新长草的量。2牛的头数×吃草天数每天新长量×吃草天数=草地原有的草。下面来看几道典型试题：例 1由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃 5 天，或供 16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃几天？（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。解析：设每头牛每天吃 1 份草，则牧场上的草每天减少（ 20×516×6）÷（ 65） =4 份草，原来牧场上有 20×5+5×4=120 份草，故可供 11 头牛吃 120÷（ 11+4） =8 天。学习必备欢迎下载例 2有一片牧场， 24 头牛 6 天可以将草吃完； 21 头牛 8 天可以吃完， 要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】 C。解析：设每头牛每天吃1 份草，则牧场上的草每天生长出（21×824×6）÷（8 6）=12 份，如果放牧12 头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12 头牛。例 3有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5 台抽水机 20 小时可将水抽完，用8 台抽水机 15 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？（）A.25 B.30 C.40 D.45【答案】 D。解析：出水口每小时漏水为（8×155×20）÷（2015） =4 份水，原来有水8×15+4×15=180 份，故需要180÷4=45 小时漏完。练习：1一片牧草，可供 16 头牛吃 20 天，也可以供 80 只羊吃 12 天，如果每头牛每天吃草量等于每天 4 只羊的吃草量， 那么 10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草， 几天可以吃完？ （ ）A.10 B.8 C.6 D.42两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。 20 秒内男孩走 27 级，女孩走了 24 级，按此速度男孩 2 分钟到达另一端， 而女孩需要 3 分钟才能到达。 则该扶梯静止时共有多少级可以看见？（）A.54 B.48 C.42 D.363 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54天可以吃尽，17 头牛吃同样牧场28 公亩的草， 84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草， 24天吃尽？（ ）A.50 B.46 C.38 D.35