高中数学排列组合及二项式定理知识点.docx

名师总结优秀知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理： 如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。分步计数原理： 如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。（2）排列数、组合数：排列数的公式：Anmn(n 1)(n 2) (n m 1)n!(m n)(nm)!注意：全排列：Ann! ；n记住下列几个阶乘数， 1！ =1， 2！ =2，3！ =6， 4！ =24， 5！ =120， 6！ =720；排列数的性质： Anm AnmnAnm 11 （将从 n 个不同的元素中取出m(mn) 个元素，分两步完成：第一步从 n 个元素中选出1 个排在指定的一个位置上；第二步从余下n1 个元素中选出m1 个排在余下的m1 个位置上）mAnm11Anm 1 （将从 n 个不同的元素中取出m(mn) 个元素，分两类完成：第一类： m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将 a 排在某一位置上，有m 不同的方法。第二步从余下n1 个元素中选出m1 个排在余下的m1 个位置上）即有 mAnm 11 种不同的方法。第二类： m 个元素中不含有a ，从 n1个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有Anm 1 种方法。组合数的公式：CnmAnmn(n 1)(n2) (n m 1)n!(m n)Ammm!m! (nm)!组合数的性质： C nmC nn m（从 n 个不同的元素中取出m 个元素后， 剩下 nm 个元素， 也就是说，名师总结优秀知识点 C nm C nm C nm C nm从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的每一个组合，都对应于从 n 个不同的元素中取出 n m 个元素的唯一的一个组合。 ）mm 1m 1C n 1C n 1 （分两类完成： 第一类： 含 a ，有 C n 1 种方法； 第二类： 不含 a ，有 C nm 1 种方法；）nm 11 个元素中选出 m 1C n 1（第一步：先选出 1 个元素，第二步：再从余下 nm个，但有重复，如先选出a1 ，再选出 a2 , a3 , am 组成一个组合，与先选出 a2 ，再选出 a1 , a3 , am 组成一个组合是相同的， 且重复了 m次）m 1m 1m 1m 1n) （分 n m1类：第一类：含 a1 ，C n 1C n 2C n 3C m 1 (mm 1m 1a1 ，不含为 C n 1 ；第二类：不含a1 ，含 a2 ，为 C n 2 ；第三类：不含a2 ，含 a3 ，为 C nm31 ；）m0m 1 11m 1mC rC nrC rC n rC rC n rC n r （将 n 元素分成分成两个部分， 第一部分含 r (rm) 个元素，第二部分含 n r (n rm) 个元素：在第一部分中取m 个元素，在第二部分不取元素，有C rmC n0r ；在 第 一 部 分 中 取 m 1 个 元 素 ， 在 第 二 部 分 取 1 个 元 素 ， 有C rm 1C n1 r ；）（3）排列、组合的应用：解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要 搞清需要分类，还是需要分步切记： 排组分清 ( 有序排列、无序组合) ，分类分步明确排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；解排列组合的应用题，通常有以下途径：以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊元素法以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置特殊位置法先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数间接法（ 4）对解组合问题，应注意以下三点：对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反” 。命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。名师总结优秀知识点（3）解排列、组合题的基本策略与方法：去杂法： 对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理： 某些问题总体不好解决时，常常分成若干类， 再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏 。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。分步处理： 与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步 。插入法 （插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。“捆绑”法： 要求 某些元素相邻 ，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法” 。穷举法： 将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。消序处理： 对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是 “有序分组” 还是“无序分组” ，若是“无序分组” ，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。三、二项式定理：(a b)nC n0 a nC n1 a n 1 bC nr a n r brC nnb n ( n N * )（1）通项： Tr 1 C nr a n r br (0 rn)（2）二项式系数的性质：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：C nmC nn m二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，nn即当 n 为偶数时，第1项的二项式系数最大，为Cn2 ；2n1 项及 n 1 1项的二项式系数最大，为n 1n1当 n 为奇数时，第Cn2Cn2；22二项展开式中所有项的二项式系数之和等于2 n ，即 C n0C n1Cnn2n ；二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即C n0C n2Cn4C n1Cn3C n52n 1 ； C n12C n23C n3nCnnn 2n 1（3）、 (ab c) n 展开式中 a pb q c r 的系数求法（p, q, r0 的整数且 pqr n ）(abc) n( ab)c nCnr ( ab) n r c rC nr Cnq r a n r q b q cr名师总结优秀知识点如： (a bc)10 展开式中含 a3b 2 c5 的系数为 C103C 72 C5510!5!3!2!（ 4）二项式定理的应用：求展开式中的指定的项或特定项：如：若 (2x 21 ) n ( n N ) ，展开式中含有常数项，则n 的最小值是；x 3求 (| x |12) 3 的展开式中的常数项。| x|注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。求展开式中的某一项的系数：如：在 (x3)10 的展开式中，x 6 的系数是；求展开式中的系数和：如： (1x)(1x) 2(1x) na0a1 x a2 x2an x n 的所有各项的系数和 是2n 12 （ 赋 值 法 ： 令 x1 ）； a0a2a4f (1)f ( 1) ；2a1a3a5f (1)f (1) ；（令 f ( x)a0a1 xa2 x2an x n ）2求二项式展开式的系数最大项的问题：求 ( abx) n 展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为A1, A2 , An 1 ；设第 r1项系数最大，则Ar 1Ar；然后求出不等式组的整数解。Ar 1Ar 2如：求 (2x)10 展开式中系数最大的项。利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证： 32n 28n9 能被 64 整除（ nN * ）证明有关的不等式问题：有些不等式， 可应用二项式定理， 结合放缩法证明， 即把二项展开式中的某些正项适当删去 ( 缩小 ) ，或把某些负项删去 ( 放大 ) ，使等式转化为不等式， 然后再根据不等式的传递性进行证明。(1x)n1 nx ； (1 x)n1 nxn( n 1)x2 ；（ x 0）1 ) n2如：求证： 2(1n进行近似计算：求数的 n 次幂的近似值时， 把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数( 或减一个小数 )的形式。当 | x | 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：名师总结优秀知识点 (1 x)n1 nx ； (1 x) n1nxn( n 1) x2 ；2如：求 1.056 的近似值，使结果精确到0.01 ；