小学六年级数学 奥数 第27讲 表面积与体积(一).docx

小学六年级数学 奥数 第 27 讲 表面积与体积（一） 一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到 立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几 何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯， 解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1） 充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2） 把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两 个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3） 若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若 把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。二、精讲精练【例题 1】从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘 米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：按图 27-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。图 27-1按图 27-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。图27-21按图 27-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。图27-3练习 1：1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米的小正 方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房 体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表面积会发生 怎样的变化？2【例题 2】把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 27-4 所示，拼成一个立体图 形，求这个立体图形的表面积。要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向 上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5 所示）。从上往下看从左往右看 图 27 5从前往后看图274而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面 积可采用（ S 上+S 左+S 前）×2 来计算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90 ）×2=243×2=486（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。练习 2：1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。图27632、一堆积木（如图 27-7 所示），是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。它们的表 面积是多少平方厘米？图 2773、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相等的小正方 体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？【例题 3】把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个大 长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表 面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积 最大，即减少两个 9×7 的面。（9×9+9×4+7×4）×2×29×7×2=（63+36+28 ）×4126=508126=382（平方厘米）答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。练习 3：1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多 少？42、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一 个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面 积最小的是多少平方厘米？1 厘米3 厘米2 厘米图 27-8【例题 4】一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘 米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求原长方体的表 面积。我们知道：体积=长×宽×高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽×高=40 ÷2=20（平方厘米）；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可知长×高 =90 ÷3=30（平 方厘米）；由高增加 4 厘米，体积增加 96 立方厘米，可知长×宽 =96÷4=24（平方厘米）。而 长方体的表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）× 2=（20+30+24）×2=148 （平方厘米）。即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24 ）×2=74×2=148（平方厘米）答：原长方体的表面积是 148 平方厘米。5练习 4：1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加 5 厘米，则 体积增加 65 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。原来厂房体的表面积 是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成为 一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的长、宽、高 都是质数，这个长方体的体积是多少？宽长高图 279【例题 5】如图 27-10 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三 个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97 （平方米）答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。6练习 5：1、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图 27-11 所示）的上、下两个面上，各有一个 直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？3、如图 27-13 所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、 下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（取 3.14）。78