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渔业资源管理问题模型§ 5渔业资源管理问题模型一. 问题的提出渔业资源是一种再生资源，其开发必须 适度.一种合理、简化的策略是：在实现可持 续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考察一个封闭式渔场中鱼量的变化.记 时刻t渔场中鱼量为x(t),关于x(t)的自然增长和 人工捕捞假设如下：在无捕捞条件下t的增长服从Logistic 规律：dtl N 丿其中r固有增长率,N为环境允许的最大 鱼量.f(x r/l-X 表示单位时间的增长量.< N丿单位时间的捕捞量(产量)与渔场 鱼量xt成正比.比例系数为k , k表示单位 时间捕捞率.试给出描述x(t变化的数学模型，并解决以 下问题：1. 讨论渔场鱼量的平衡点及稳定性，给第102页出捕捞适度与捕捞过度的条件；2. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下， 确定获得最大持续产量时的最大产量，捕捞 强度及鱼量水平；3. 渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确 定获得最大利润（经济效益）时的产量，捕 捞强度及鱼量水平；4. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下， 确定获得微薄利润时的临界强度及存在条件、鱼量水平（此时的捕捞亦称为盲目捕捞）.二. xt变化的数学模型1. 设单位时间捕捞量为hx，由假设，则h x 二 kx作分解k =qE，其中k为单位时间捕捞率；E称为捕捞强度，一般用出海鱼船数量来度 量；q称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞 率为方便起见，此处我们取q=1，则单位时间捕捞量为人( x y令 F (x A f (xh(x )= rx 1 -一 i - ExI N丿2.由假设、及上面讨论，得描述x（t）变化的数学模型为啦十1Lexdt初始条件为x0 =a由分离变量法，求得其解为:xt_ar 十（Nr - EN - ar pr ）(2)三. 渔场鱼量的平衡点及稳定性1. 对于微分方程芽汀X （3）dt'/的平衡点（或奇点）及稳定性判别法：代数方程F x =0的实根x = x°为微分方程 专=Fx的平衡点（x=x °是解且律=0）.若-初始条件，（3）的解xt都满足lim x t =x0 t .则称平衡点Xo是稳定的（否则不稳定）. 判别法则： 若F x0 <0，则平衡点xo对于方程（3）是稳定 的 若F xo 0，则平衡点xo对于方程（3）不稳定2.令 F x =0,即 rx 1 -兰-Ex = 0I N丿即xr=0得到两个平衡点:x0 = N，Xi =03.又F x竺-ENF X。=E -r若 E ： r，贝 V F x0 : 0， X。点稳定；F xi 0， xi 点 不稳定.若E r，则结果正好相反.4. E是捕捞率，r是最大增长率.捕捞适度Er，渔场鱼量稳定在& ,此时持续产量hxo =EX0 （ E是可变常数）捕捞过度E r，渔场鱼量将减至Xi=O，谈不上持续产量5. 渔场鱼量稳定在大于零F x =0 ,且x 0, E : r<=>x = N 1EcrI r尸 -这就是稳定条件四稳定条件下最大持续产量1 在渔场鱼量稳定在大于零的条件下，最大持续产量的数学模型为（数学规划）：max h（x ）= Ex:s.t. F（x ）= 0, E <r、maxh x = Ex或JC x门s.t. rx 1 - 一 | 一 Ex = 0, E < rl N丿这里x是决策变量，E是待定常数.2. 数学模型（4）的求解.方法一：h x =rx 1 -令2rxNdh xdxdh xdx即获得最大持续产量的稳定平衡点为（此时鱼量为最大鱼量的一半）单位时间内的最大持续产量为N1一互NrN 一 4 ?y = rxy = f xxx0xorNE -L -LN 22r y x2此时的捕捞强度为方法二：图解法，y = Ex令 y=f（x）=rx 1- 丝（图形为抛物线） 直线y =h x = Ex 其交点P的横坐标就是稳定平衡点xo，求 出交点的最大y值即可五稳定条件下最大持续利润1.假设：鱼的销售单价为常数P.单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费 用为常数C.2. 数学模型单位时间的收入T与支出S分别为T 二 ph x 二 pExS 二 cE单位时间的利润为 R =T -S = pEx -cE故在稳定条件下的最大持续利润的数学 模型为max R x = pEx - cE's.t. r 1E = 0 , E vrI < NJ这里是x决策变量，E是待定常数.、max R x = pEx - cE或 < + Me、is.t. x = N 1 -一 i , E < r或maxR（E）=pNE 1 -E -cE< r丿3. 模型的求解2pNEdER令誉丸，得Er 即为最大捕捞强度渔场稳定的鱼量（鱼量水平）为 XR誇立单位时间的持续产量h"2 1c * c L rNpN 丿（2 2p丿 42 2P Nc24.最大利润结果与最大产量结果的比较Xrc, P 0 ,E Er ,hm hR c, p 0六.稳定条件 下微薄 利 润 捕 捞1. 在前面五.1假设、下，单位时间的 利润为R E 二 pEx - cE又稳定条件为F x = 0， x 0， E ： r或 Me）匚x=N 1-一 I， E <r< r yr、（ E "二 R（E ）= pEN 1 1-cE< r丿故稳定条件下的微薄利润的数学模型为 确定 E，使 R E 0， Fx=0， x 0， Er 即确定E，使R（E ）=pEN " 1 -E |-cE a 0I r丿2. 求解不等式pEN .V- |-c0< r j(E pN 1 i > c ,I r丿E cr 1 cpNEs=r 13. 结论：当E<Es时，利润R（E）>。，盲目的经营者们 会加大捕捞强度；当E Es时，利润RE ;0，自然要减少强度; Es称为盲目捕捞者的临界强度4. Es也是y=TE， y=SE的交点横坐标Es存在的必要条件为Es 0即p咋即售价大于（总体而言的）成本5.由于宀心,而Esf1 一罰所以稳定条件下微利捕捞的渔场鱼量水 平为Xs計（即盲目捕捞）此时的产量为:hscrPcPN第111页
