圆锥曲线的综合问题详细解析版.doc

圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法；2. 了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax + By + C= 0（A, B不同时 为0）代入圆锥曲线 C的方程F（x,y）= 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的一元方程，Ax + By + C = 0 ,即消去 y,得 ax2 + bx + c = 0.F （x, y）= 0（1）当a丰0时，设一元二次方程 ax2 + bx + c= 0的判别式为A,则A>0?直线与圆锥曲线 C 相交；A= 0?直线与圆锥曲线C相切Av 0?直线与圆锥曲线C相离.当a = 0 , b工0时，即得到一个一次方程，则直线 l与圆锥曲线 C相交，且只有一个交 点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行 C为抛物线， 则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 .2. 圆锥曲线的弦长 设斜率为k（k丰0）的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，A（xi, yi）, B（X2, y2），则| AB| =1 + k2| xi -X2|=1 + k2 、(X+ x2)2 4xx?-例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x y【例1】 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆Ci:孑+ = 1(a >b >°)的左焦点为Fi(1 , °)，且点 P(0, 1)在 Ci 上.(1)求椭圆Ci的方程；设直线I同时与椭圆C1和抛物线C2: y2 = 4x相切，求直线I的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1( 1 , °) , c = 1 ,又点P(°, 1)在曲线C1上，° 1石 +二=1，得 b = 1，贝V a2 = b2 + c2= 2 ,a b2x 2所以椭圆C1的方程为2+y2 = 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于°，设直线I的方程为y = kx + m,消去 y，得(1 + 2k2)x2 + 4kmx + 2m2 2 = °.y = kx + m因为直线I与椭圆C1相切，所以 = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = °.整理得2 k2 m2 + 1 = °.2y = 4x,由消去 y，得 k2x2 + (2km 4)x + m2 = °.y = kx + m因为直线I与抛物线C2相切, 所以 = (2km 4)2 4k2m2 = ° ,整理得 km = 1.2 2k = 2 , k = 2 ,综合,所以直线解得2 或2m =2 m = 2.I 的方程为 y = 2x +2或 y = 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解【训练1】 在平面直角坐标系 xOy中，点M到点F(1 , 0)的距离比它到y轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P 2 , 1)，若直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数 k 的取值范围 解设点M(x , y)，依题意| MF| = | x| + 1 ,(x 1 ) 2 + y2 = | x| + 1，化简得 y2 = 2(| x| + x),4x (x >0 ),故轨迹C的方程为y2 = 0 (x v 0).在点 M 的轨迹 C 中，记 C1: y2 = 4x(x>0); C2: y = 0(xv 0).依题意，可设直线I的方程为y 1 = k(x + 2).y 1 = k (x + 2),由方程组 2y = 4x,可得 ky2 4y+ 4(2 k + 1) = 0.1当k = 0时，此时y = 1.把y = 1代入轨迹C的方程，得x =-.41故此时直线I: y= 1与轨迹C恰好有一个公共点 4，1当 k 工0 时，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)(k +1)， 设直线I与x轴的交点为(xo, 0)，贝U2 k +1由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0，得 X。=.Av 0 ,1(i )若由解得k v 1，或k >-.X0 v 0 ,2所以当kv 1或k> 1时，直线I与曲线C1没有公共点，与曲线 C2有一个公共点，故此时直线I与轨迹C恰好有一个公共点.2k2 + k 1 = 0 ,A= 0 ,(ii )若即2k + 1解集为？.xo > 0 ,v 0 ,k综上可知，当k v 1或k>扌或k = 0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点考点二弦长问题2 2x y【例2】(2016 四川卷)已知椭圆E : 2 + 2 = 1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是a b直角三角形的三个顶点，直线I： y = x + 3与椭圆E有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设0是坐标原点，直线I'平行于0T,与椭圆E交于不同的两点 A, B，且与直线I交于点P证明：存在常数 入使得| PT| 2 3 =入PA| | PB|，并求入的值.(1)解由已知,2a=2b,则椭圆E的方程为x22b勺十 = 1.2“每=1,由方程组 2b' b '得 3x2 12x + (18 2b2) = 0y= x + 3,方程的判别式为A= 24( b2 3)，由A= 0,得b2 = 3 ,此时方程的解为 x= 2 ,所以椭圆E的方程为2 2x y6十3 = 1点T的坐标为(2 , 1).(2)证明由已知可设直线1的方程为 y=+ m(m丰0),1由方程组y_ 2x十m，可得2mX = 2 丁，2my=1+T2 m所以P点坐标为2 丁, 1 + 32mIPT|2 = |m2.x2设点A, B的坐标分别为A(X1, yi), B(X2, y2).-+必=16十3，由方程组可得3x4m4m 12由得 X1 十X2 = 丁 , X1X2 =3十4mx十(4m2 12) = 0.1y=_x 十 m,方程的判别式为 A= 16(9 2 m2),3込由 A>0 ,解得一2 <m<-/2m2-+ 3 yi所以 | PA| = . ：' 2 3 xi +2m2 xi3同理|PB|22m2 X23所以 | PA| | PB|2 m2 xi32 m2 X2352m 22m=4 2 3 2 丁 (Xi + X2)+ X1X252m 22m4m 4m2 12= 2 一 2 +43333104°故存在常数山-，使得|PT|2 iPA| |PB|.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法:涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长； 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题， 的定义求解.X2 y2厂1【训练2】 已知椭圆+ 2 = 1(a>b>0)经过点(0, 3)，离心率为, a bw2涉及垂直关系时也可考虑用圆锥曲线左、右焦点分别为F1( c, 0), F2(c, 0).(1)求椭圆的方程；1若直线I: y = 2X + m与椭圆交于 A, B两点，与以F1F2为直径的圆交于C, D两点，且满足I AB|I CDI求直线l的方程.解(1)由题设知解得 a = 2 , b = ：3, c= 1 ,椭圆的方程为x2由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2 + y2 = 1 , I CD| = 2 1 d2 = 241 - m54m2.圆心到直线1的距离d = 21 m|，由d v 1，得| m| vf.(*)设 A(xi, yi), B(X2, y2),1y=尹+m ,由 2 2得 X mx + m 3 = 0 ,x y “+= 1,4 3由根与系数关系可得 xi + X2 = m , xiX2 = m2 3.| AB | =1 +1 2-m2 4 (m2 3)2154 |AB| 口 / 曰由顾=4 ，得54-m 2 = 1，解得 m = ±半，满足(*)直线1的方程为y=考点三中点弦问题2 2【例3】(1)已知椭圆E : a + b = 1(a > b >0)的右焦点为F(3 , 0)，过点F的直线交E于A, B两点.若AB的中点坐标为(1 , 1)，贝U E的方程为()xA. +45362 2x y B. += 136272 2x yC. += 1718X2D.18已知双曲线x2 = 1上存在两点 M , N关于直线y = x+ m对称，且 MN的中点在抛3物线y2 = 18 x上，则实数m的值为解析 (1)因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1 , 1),所以直线AB的方程为y =如3)，代入椭圆方程 牛+ £a2232 = 1 消去 y，得+ b x2 §a2x92 2 2+ a a b = O ,4所以AB的中点的横坐标为2a2吾=1,即 a2 = 2 b2,又 a2 = b2 + c2，所以 b = c = 3, a = 32，选 D.(2)设 M(xi, yi), N(X2, y2), MN 的中点 P(xo, yo),2 y2xi 7- = i ,xi + X2 = 2x0,yi + y = 2yo,1由一得 (X2 xi)(x2 + xi)= 3(y2 yi)(y2 + yi),y2 y i y2 + y iyo显然 xi 丰 X2.= 3，即 k mn =3 ,X2 xi X2 + xixot M , N 关于直线 y = x + m 对称， kMN = i ,m3m yo = 3xo.又Tyo = xo + m, P ,92m代入抛物线方程得 m = i8 ,i64解得m = 0或8，经检验都符合.答案(i)D (2)o 或一8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(i)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有xi +y i y2X2, yi + y2,三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可xi X2求得斜率.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点 A( i , 0)，且以直线x = i为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹 C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M ,1N，且线段MN恰被直线x = 平分，设弦 MN的垂直平分线的方程为y = kx + m，试求m的取值范围.解(1)设抛物线顶点为P(x, y),则焦点F(2x- 1 , y).再根据抛物线的定义得| AF| = 2，即(2x)2 + y2 = 4 ,所以轨迹C的方程为2X2 + y- = 1.4设弦MN的中点为1P 2, yo , M(xm , yM), N(xn, yN)，则由点 M , N 为椭圆 C 上的2 24xm + yM = 4 , 可知 224xn + yN= 4.两式相减，得4(xm xn)(xm + xn) + (yM yN)(yM + yN)= 0,1将 xm + xn= 2 x = 1 , yM + yN = 2yo,yM yN 1yoX= k代入上式得k =-又点1P , yo在弦MN的垂直平分线上,所以1yo=尹所以13m = yo + k = yo.由点1 1P 2, yo在线段BB '上(B ', B为直线x = 2与椭圆的交点,如图所示)，所以yB，vyo<yB,也即一vyov ：3.所以一< m v，且m工o.44基础过关1.过抛物线y2 = 2X的焦点作一条直线与抛物线交于A, B两点，它们的横坐标之和等于 2 ,则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解析通径2p = 2，又| AB| = xi + X2 + p| AB| = 3 > 2p，故这样的直线有且只有两条.2.直线x2y = ax + 3与双曲线孑-2y= 1(a > 0 ,b > 0）的交点个数是（A.1B.2C.1 或 2D.0bb解析因为直线y=ax+3与双曲线的渐近线y = _x平行，3 a所以它与双曲线只有1个交点答案A2x 23.经过椭圆2 + y2 = 1的一个焦点作倾斜角为 45 °的直线l,交椭圆于A, B两点，设O为坐标原点，则OA OB等于（）A. 3B.1C. 3 或33D. 土 解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1 , 0）时，其方程为y 0 = tan 45 ° （x 1），即y = x 1，代入椭圆方程2x 22 + y = 1并整理得3x2 4x = 0,解得x = 0或x = 4，所以两个3交点坐标分别为（0 ,1),3，3， OA OB = 1，同理，直线I经过椭圆的左焦点时,答案 B也可得OA OB =-.3答案 B4. 抛物线y = x2到直线x y 2 = 0的最短距离为（）A. .27 . 2B. 8C.225 . 2 D.-6解析 设抛物线上一点的坐标为（x , y）,则d =d i -墮min8答案 B5. （2017 石家庄调研）椭圆ax 2 C : * + 話=1(a > b>0), + by2 = 1与直线y = 1 x| x y 2| x2 + x 2|2交于A, B两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为 F，则a的值为（）A.C.D.2 , 3272 b解析 设 A(X1, y) B(X2, y2),线段 AB 中点 M (x。, y。).由题设koM =上2 2ax 1 + by 1 = 1 , ax2 + by2 = 1 ,xo(y2 + y1)( y2 y1) (X2 + X1 )( X2 X1 )y2 y1y2 + y12yo 3又= 1 , = _ = _X2 X1X2 + X12xo 2a所以=.32答案 A6已知椭圆F（ 2 , 0）为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆C的方程为 .c= 2,b2a =2,x2y2解析 由题意得 =1 , 解得-椭圆C的方程为丁 +匚=1.ab = V 2 ,42a2 = b2 + c2,x2 y2答案4+2 =17. 已知抛物线 y= ax2（a > 0）的焦点到准线的距离为2，则直线y = x+ 1截抛物线所得的弦长等于1 1解析由题设知p = 2，a =2 a4抛物线方程为y = 1x2，焦点为F(0, 1)，准线为y= 1.4联立y = /，消去X,y=x +1,整理得y2 6y + 1 = 0, yi + y = 6,直线过焦点 F,所得弦 | AB| =| AF| + | BF | = yi + 1 + y + 1 = 8.答案 82 2x y8. 过椭圆石+ 4 = 1内一点P(3 , 1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 解析 设直线与椭圆交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点,由于A, B两点均在椭圆上,x2 y2故石+4 =1，2 2X2 y2+ = 1164两式相减得(X1+X2)(X1X2)16(y1 + y2)( y1 y)4=0.又 P 是 A, B 的中点， X1 + X2 = 6 , y1 + y2 = 2,y1 y23k AB =.X1 X243直线AB的方程为y 1 = -4(x - 3).即 3x + 4y 13 = 0.答案 3x + 4y 13 = 0三、解答题2 2x y9设F1, F2分别是椭圆E：+ 2 = 1(a>b >0)的左、右焦点，过 F1且斜率为1的直线Ia b与E相交于A, B两点，且| AF2| , |AB|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；设点P(0， 1)满足| PA| = | PB|，求E的方程.解 由椭圆定义知|AF2| +1 BF2| + |AB| = 4a,4又 2| AB | = | AF2| + | BF2|，得 | AB | = 3a,3l的方程为y = x+ c,其中c = -'a2 b2.设A(xi, yi), B(x2, y2),则A, B两点的坐标满足方程组y = x + c,2 2x y d 亍 + b1 =1, a b消去y，化简得(a2+ b2)x2 + 2a2cx + a2(c2 b2) = 0,则 xi + X2 =2a2ca2 + b2,a2 (c2 b2) xix2 =齐厂因为直线 AB 的斜率为 1，所以 |AB| = ''2| X2 xi| = ；'2 ( xi + X2) 2 4xiX2,即 3a =34ab2a2 + b故 a2 = 2b2,所以E的离心率设AB的中点为N(xo, yo)，由(1)知xi + X2xo =2a c 2cca=亏,yo = xo + c= 3.由I PA| = | PB|，得 kPN= 1，即= 1 ,Xo得 c= 3，从而 a = 3 '2 , b = 3.x2 y2故椭圆E的方程为77+：= 1.1892 2x y10. 已知椭圆C :孑+ b= 1(a>b>0)的一个顶点为 A(2 , 0)，离心率 y2为丁.直线y = k(x 1)与椭圆C交于不同的两点 M , N.(1)求椭圆C的方程；(2)当厶AMN的面积为；10时，求k的值.解(1)由题意得22,2a = b + c .2 2lx y解得b = '2，所以椭圆C的方程为4 + ； = 1.y= k (x 1),由 X2 y2得(1 + 2k2)x2 4k2x + 2k2 4 = 0.4+2= +2k2=寸，解得k =，设点M , N的坐标分别为(X1, y) (X2, y2).则 yi = k(xi 1), y2 = k(x2 1),4k22 k2 4X1 + X2 =2, X1X2 =2,1 + 2k2'1 + 2k2'所以 | MN | = , (X2 X1) 2 +( y2 y1) 2=,(1 + k2) (X1 + X2) 2 4X1X22(1 + k2)( 4 + 6k2)1 + 2 k2又因为点A(2 , 0)到直线y = k(x 1)的距离d =严鼻,1 + k1所以 AMN的面积为S= 21 MN | d|k| ：4 + 6k21 + 2k2，由| k| .;4 + 6k2.'10± 1.能力提高2 2F1, F2，过F1的直线l交椭圆于A,x y11. 已知椭圆：+ 2 = 1(0 v b v 2)的左、右焦点分别为4 bB两点，若| BF2| + | AF2|的最大值为5，则b的值是()A.1B. 2C.2解析由椭圆的方程,可知长半轴长为a = 2,由椭圆的定义,可知 | AF2| + | BF2| + | AB|=4a = 8,所以 | AB| = 8 (| AF2| + | BF2|) > 3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2=3，可求得b2 = 3 ,a即 b = "J 3.答案 D解析如图所示，设 P(x°, y°)(y0>0)，则 y = 2px°,解之得P + x°口,yo，且y =亍.直线OMy'y02p的斜率k =xy02 pp + y0l 2p y 32p2y°> 2、：2p，当且仅当 y = ；2p时取等号12. (2016 四川卷 股O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y = 2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点，且| PM| = 2| MF|，则直线OM的斜率的最大值是()D.1即 x0 = 2p-设 M(xy'),由 PM = 2MIF ,p ,X。= 2 x , -yo = 2 (0 -y，), k三十=¥，贝y k的最大值为22p 22答案 C13. 设抛物线y2 = 8x的焦点为F，准线为I, P为抛物线上一点，PA丄l, A为垂足.如果直线AF的斜率为一.：3，那么| PF| =解析 直线AF的方程为y = ,：3(x 2)，联立y = 3x + 2 - 3，得 y = 43，所以 P(6 ,x = 2 ,4 .：3).由抛物线的性质可知| PF| = 6 + 2 = 8.答案 814.已知抛物线C : y2 = 2px(p>0)的焦点为 F,直线y = 4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且| QF|5=41 PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A, B两点，若AB的垂直平分线I'与C相交于M , N两点,且A, M , B , N四点在同一圆上，求I的方程.设Q(xo,4），代入y28=2 px 得 xo =.8 所以 |PQ| = p，P| QF| = P + xo = P + -.22 pp 858由题设得，解得p = - 2(舍去)或p = 2.所以C的方程为y2 = 4x.依题意知I与坐标轴不垂直，故可设 I的方程为x = my + 1(m丰0).代入y2 = 4x得y2 4my 4 = 0.设 A(xi, yi), B(X2, y2)，贝U yi + y2 = 4m , yiy2 = 4.故AB的中点为D(2 m2+ 1 , 2m),| AB| = m2 + 1| yi y2| = 4(m2 + 1).1 2又I'的斜率为一m，所以I'的方程为x = 一y + 2 m2 + 3.m将上式代入y2 = 4x，并整理得y2 + 4(2 m2 + 3) = 0.设 M(X3, y3),N(X4 ,yd,贝U y3 + y4 =4m| MN|由于MN垂直平分AB，故A, M ,B, N四点在同一圆上等价于1|AE| = | BE| = 2lMN| ,2y3y4 = 4(2 m + 3).故MN的中点为E刍+ 2m2 + 3 ,mm4 (m2 + 1 )2m2 +12 m1 1从而严盯+|de|2訂MN|2,2 2 22即 4(m2 +1)2 + 2m + r + 2m m4 (m2 +1 ) 2 (2m2 + 1) =4.m化简得m2 1 = 0,解得m = 1或m = 1.所求直线l的方程为x y 1 = 0或x + y 1 = 0.33