大数定律及中心极限定理应用题.doc
大数定律与中心极限定理应用题1 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg，标准差为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 i 只零件重为 Xi ， i1,2,.,500 ，则 EX i0.5 ， DX i 0.125 0 0设XX i ，则 X 是这些零件的总重量i1EX0.550002500 ， DX0.125000 50a由中心极限定理X 2500 N (0, 1)50（1） P(X2510) = P( X 2500 2510 2500 )505010 (10.9213=0.07872 ) =(2) 设 汽车载重量为 a 吨P( Xa) = P( X2500a 2500 )0 ( a 2500 ) 0.95505050查表得 a25001.6450计算得 a2511.59因此汽车载重量不能低于 2512 公斤2 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有30 根短于 3m 的概率？解设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X b(100, 0.2)a由中心极限定理X N (20, 16)P( X30) =P( X2030 20)161610 (2.5) =10.9938=0.00623 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。解 设第 i 只蛋糕的价格为Xi ， i1,2,.,300 ，则 X i 有分布律：X i11.21.5P0.30.205由此得E( Xi)1.29E( Xi2 )1.713故 D( X i )EXi2( EXi )20.0489300（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 XX ii1300EXEX i3001.29i 1300DXDX i3000.0489i 1a由中心极限定理X N(3001.29, 3000.0489)P( X400) = P( X300 1.29400 3001.29)3000.04893000.048910 (3.39) =1 0.9997 =0.0003（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2元的蛋糕只数，于是 Y b(300,0.2)Y 300 0.2 a N ( 0,1)300 0.2 0.8P(Y 60) = PY 300 0.260 6010(0) 0.53000.20.8484.设某种商品第n 天的价格为Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：X1Y2Y1，X2Y3Y2，X3Y4Y3，X n Yn1 Yn18所以X nY19Y1Y19100n1181818E X n0 ， D X nDX n36n 1n 1n 1由中心极限定理，P 96Y19104P Y19100418181818X n EX n4= PX nEX n4Pn1n 166n 1n 1221=0.497235.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式， 与（2）中心极限定理给出估计。解设至少要抛 n 次； X“ n 次抛硬币中出现正面的次数” ，则 X B(n,0.5) ， EX0.5n ， DX 0.25n ，正面出现的概率是 p0.5 ；X“ n 次抛硬币中出现正面的频率” ，n于是 EX0.5， D X0.25nnn（ 1）由切比雪夫不等式XD X1000.50.05nP2nn0.05由 1000.01 ，得 n 10000n即至少要抛 10000 次。（ 2）由中心极限定理 ,aX N (0.5n, 0.25n) ,aa0.25)X N ( 0.5, 0.25) ,X0.5 N (0,nnnn所以X0.50.052 1（ 0.05P0nn0.5/=2 1（0.1n)0.010得（00.1n)0.995，查表（2.58)0.995，0由于 （0x) 单调增，故 0.1n2.58，解得n665.64因此至少要抛 666 次6. 根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为 80%，服务台共接受了 2500 个电话预约，请分别用（ 1）切比雪夫不等式，与（ 2）中心极限定理估计实际入住的人数在 19502050 之间的概率。解 设随机变量 X “2500 个电话预约的客户实际入住的人数” ，则 X B(2500, 0.8)， EX2000， DX400（ 1）由切比雪夫不等式，得P 1950 X2050P( X200050)DX4001210.84502500（ 2）由中心极限定理，得aX N (2000, 400) ，P 1950 X2050P( 1950 2000 X200020502000 )2020200 (2.5)0 ( 2.5)2 0 (2.5) 1=0.98758
