[考研数学]二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别.docx

.二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同矩阵的相似： 设为阶矩阵，若存在可逆矩阵使，则与相似。相似的性质(相似的必要条件)：若,则 (1)； (2) ； (3)即有相同的特征值； (4) 。矩阵的合同：和为两个阶对称矩阵,若存在阶可逆矩阵使，则称与合同。 例如：则有，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵使得,特别地,必有正交矩阵（）使为的特征值，故而任意一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得不仅合同而且相似于一个对角阵。下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？,若为可逆矩阵，称为可逆线性变换；若是正交矩阵，称为正交变换。下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？以三元二次型为例：,且,故经可逆线性变换仍为关于的二次型，且原二次型矩阵和新二次型矩阵是合同的关系，若是正交矩阵,那么,所以不仅合同而且相似。对于任意一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵（）使得为的特征值，因此若用正交变换,(标准形)即与合同且与相似,其中的对角线为的特征值。所以只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是的特征值。而经一般的可逆线性变换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为的特征值。下面来看一个具体的例子：二次型 ，二次型的矩阵， ，的特征值为，求出的特征向量再单位化可以组成正交矩阵，经正交变换化为，下面再看配方法：，经可逆线性变换化二次型为标准形。可见并不是二次型矩阵的特征值！*;