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高中数学必修1知识点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；  （2）元素的互异性； （3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，                                          任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大写英文字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是xR| x-3>2或x| x-3>2（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集  N*或 N+  整数集 Z  有理数集Q  实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 aA6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或BA集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2“相等”关系(55，且55，则5=5)实例：设  A=x|x2-1=0    B=-1,1  “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB  同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集与并集的性质：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（2）补集：设U是一个集合，A是U的一个子集（即AU），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作： CUA ，即 CUA =x | xU且 xA（3）性质：CU(C UA)=A  (C UA)A=  (C UA)A=U二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零,底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。  相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.  (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如：书上P21例5 （2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如、平移变换: 由f(x)得到f(xa)  左加右减；  由f(x)得到f(x) a    上加下减                  4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点1 解析法：必须注明函数的定义域；2 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA)  称为f是g的复合函数。7函数单调性（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) （或f(x1)f(x2)）。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2D，且x1<x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）u=g(x) y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减增减减减增   (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：复合函数单调性：口诀：同增异减注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.  8函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称函数奇偶性的性质1 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若奇函数定义域中含有0，则必有.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9、函数最大（小）值（定义见课本p30页）（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2） 利用图象求函数的最大（小）值；（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：          如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。注意：(1) (2)当 n是奇数时，当 n是偶数时，2分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：正数的正分数指数幂的意义：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）（2）（3）注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1即 a>0且a12、指数函数的图象和性质 0<a<1a>1图像性质定义域R , 值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1   注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x      指数型函数： y=kax指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：（ a 底数， N 真数， 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a1；2. 真数N>0  3. 注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,  ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ,3、对数式与指数式的互化对数式        指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,  loga1=0  特别地， lg10=1,  lg1=0 ,  lne=1,  ln1=0(3) 对数恒等式：（二）对数的运算性质如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0  有：1、    两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、        两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、        一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,)注意：换底公式利用换底公式推导下面的结论（二）对数函数1、对数函数的概念：函数(a>0，且a1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a12、对数函数的图像与性质：对数函数(a>0，且a1) 0 a 1a 1图像性质定义域：（0，） 值域：R过点(1 ,0), 即当x 1时,y0在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当x>1时，y<0当x=1时，y=0当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0当x=1时，y=0当0<x<1时，y<0   重要结论：在logab中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+)内时，有logab>0;当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+) 内时,有logab<0.                                            3、如图，底数 a对函数的影响。 规律:  底大枝头低,  头低尾巴翘。对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同,插进1(=logaa)进行传递。y=ax(a>0且a 1) 与y=logax(a>0且a 1) 互为反函数，                    图象关于y=x对称。5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)  对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)  对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）(3)  对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。6 比较大小的方法3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。(1)  利用函数单调性(同底数)；(2)  利用中间值（如:0,1.）；(3)  变形后比较；(4)  作差比较(二)知识与技能：166.116.17期末总复习（三）幂函数cos1、幂函数定义：一般地，形如3.余弦：的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(二)空间与图形推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ ）上是增函数特别地，当>1时，幂函数的图象下凸；当0<<1时，幂函数的图象上凸；（3）<0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点3、零点定理：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)1）0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3）0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点二、二分法1、概念：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)<0，给定精确度；求区间(a,b)的中点c;计算f(c),若f(c)=0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0(a,c)）若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0(c,b)）(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|<,则得到零点近似值为a(或b);否则重复 (5)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布两个根都在（m,n )内两个有且仅有一个在（m,n)内x1(m,n) x2(p,q) f(m)f(n)<0    两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于K  f(k)<0