山东省龙口市兰高镇中考数学复习探索二次函数综合题解题技巧四二次函数与特殊三角形的探究问题练习无答案鲁.wps

探索二次函数综合题解题技巧四 二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺 乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多 得分、是完全可以做到的。第 1 小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线 段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第 23 小问通常要结合三角形、四 边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要 善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代 数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维 受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防 止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 类型四 二次函数与特殊三角形的探究问题 （1 1）与直角三角形的探究问题 例 1 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=-1, 且经过 A(1，0)，C(0,3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B。 （1）若直线 y=mx+n 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC的解 析式； （2）设点 P 为抛物线的对称轴 x=-1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标. 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=-1， 且抛物线经过 A（1，0），抛物线与 x 轴的另一交点为 B， B 的坐标为：（-3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）， 把 C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1， 抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3； 把 B（-3，0），C（0，3）代入 y=mx+n得： m=1，n=3 直线 y=mx+n 的解析式为：y=x+3； （1）设 P（-1，t）， 1 又B（-3，0），C（0，3）， BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10， 若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2， 即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2， 即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4， 若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2， 即：4+t2+t2-6t+10=18， 解之得：t1= 错误！未找到引用源。， t2= 综上所 述 P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， ） 或（-1， ） 方法提炼(1)(1)： 利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式； 确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论； 根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在； 方法提炼(2)(2)： 利用两直线垂直，K 值互为负倒数（K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式 将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在； 方法提炼(3)(3)： 利用特殊角 45°构造直角三角形，易求点的坐标。 （2 2）与等腰三角形的探究问题 例 2 如图，直线 y3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点 C(3，0)。 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使，ABQ是等腰三角形？ 若存在求，出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 (2)该抛物线的对称轴为 x= 1。设 Q 点坐标为(1，m) 当 AB=AQAB=AQ时 Q 点坐标(1， 6)，或(1，- 6)； 2 当 BA= BA= BQBQ时 解 得：m=0，m =6, Q 点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线 AB 上，不符合题意应 舍去; 当 QA=QBQA=QB时 解得：m=1， Q 点坐标为(1，1) 抛物线的对称轴上是存在着点 Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1) 方法提炼： 设出点坐标，求边长；（类型一方法提炼） 当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当 AB=AQ时； 当 BA= BQ 时；当 QA=QB时；具体方法如下: 当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧， 若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已 知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定 长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂 直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点。 跟踪训练1 1：如图，已知抛物线y=x2+bx-3a 过点A（1，0），B（0， -3）， 与 x 轴交于另一点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P，Q，B，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理 由 3 跟踪训练 2 2：以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点，AC 所在的直线为 x 轴，已知 A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P 为折线 BCD 上一动点，作 PEy 轴于点 E，设 点 P 的纵坐标 为 a （1）求 BC边所在直线的解析式； （2）当OPM 为直角三角形时，求点 P 的坐标 跟踪训练 3 3：如图，在平面直 角坐标系中，直线 y=2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点， 点 C 的坐标是（8，4），连接 AC，B C （1）求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形 状； （2）动点 P 从点 O 出发，沿 OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC以每秒 1 个单位长度的速度 向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停 止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 4 跟踪训练 4 4：如图，已知一次函数 y0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数 yax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC2 （1）求二次函数 yax2+bx+c 的解析式； （2）设一次函数 y0.5x+2 的图象与二次函数 yax2+bx+c的图象的另一交点为 D，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标 5