高等数学下试题及参考答案华南农业大学.docx
华南农业大学期末考试试卷（A卷）得分20132014学年第2学期考试科目：高等数学 AH题号一一二四总分得分评阅人考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 .微分方程xy' ylny的通解。rrrr2 .设有向量a（4,3,0） , b（1, 2,2）,则数量积ab 。3 .过点（-1,1,0）且与平面3x+2y-z 13 0垂直的直线方程是 4 .设 z sin(xy2),贝U-z y、2 2y5 .交换积分次序 ° dy y2 f (x, y)dx得分、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 .设L为直线x 0, y 0, x 1及y 1所围成的正方形边界，取正向，则?L（x3 xy）dx （x2 y2）dy等于( )A.1B. 1C. 1D. 124r r r rr2 .已知a i j k ,则垂直于a且垂直于x轴的单位向量是( )r r2 r rA. (i k) B.(j k)2.2 r r.3 r r rC T(j k)» T(ij k)3 .设 z ln (xy),则 dz x 1y 1D. 0A. dy dx B. dx dy C. dx dy4 .对于级数（-4）-,有（）n 1 npA .当p 1时条件收敛B .当p 1时绝对收敛C.当0 p 1时绝对收敛D.当0 p 1时发散、一15 .设0 un （n 1,2,L ）,则下列级数中必定收敛的是（）nA. Un B.（ 1）nUnC.西n 1n 1n 1D.（1）nu2n 1 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）一得分r-1.计算二重积分arctan d ,其中D是Dx（x, y）x2 y2 1,0 y x。2.设f,g均为连续可微函数，uf (x, xy)g(x xy),求-U，-U。 x y3 .设由方程xyz ez确定隐函数z z（x, y）,求全微分dz。n4 .判定级数 ？ 的敛散性。n 12 n!5 .使用间接法将函数f（x） 上方展开成x的幕级数，并确定展开式成立的区 4 x问。6 .求微分方程y' xcosx、满足初始条件y 的特解。xx 227.计算二重积分 xjyd ,其中D是由曲线y 百和y x2所围成的闭区D域。 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）一得分1. L是连接以（1,0）为起点和（1,2）为终点的一条曲线，问当a为何值时，曲线积分 J6xy2 y3)dx a(xy2 2x2y)dy与积分路径无关，并计算此时的积分值。2 .要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才 能使它的表面积最小。3 .设f(x)在|x| 1上有定义，在x 0某邻域有一阶连续的导数且limUx) a 0,求证：(1)f(L 发散；(2)(-1 )n-1f()收敛。x 0 xn 1 nn 1n华南农业大学期末考试试卷(A卷)20132014学年第2学期考试科目：高等数学 AH参考答案一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)ex 一一 x 1 y 1 z21. y e2. (6,-8,-11) 3. - 4. 2xycos(xy )3211 次5.0dx x f(x,y)dy2二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. C 2. B3. B 4. B 5. D三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)1 .计算二重积分arctan d ,其中 D 是(x,y)x2 y2 1,0 y x。Dx解：在极坐标中D为( ,r)0-,0 r 1 3分4arctan d rd dr 5分DxD一14 d rdr 6分002642.设f, g均为连续可微函数，u f(x, xy)g(x xy),求-u,-u。x y解：(f；(x,xy) yf2'(x,xy)g(x xy) (1 y) f (x,xy)g'(x xy)4 分 xxf2(x,xy)g(x xy) xf(x,xy)g(x xy)3.设由方程xyz ez确定隐函数z z(x, y),求全微分dz。解:设 F (x, y,z) xyz ezFxyz, Fyzxz, Fz xy eFxFzyz zFyxz,e xy yFze xydz(ydx xdy) xy4.判定级数nn 1 2 n!的敛散性。解： lim lim./122n un n 2 (n 1)!nn11nlim -(1-)n 2n所以级数n14nn!e-12发散5 .使用间接法将函数f(x)。展开成x的幕级数，并确定展开式成立的区 x问。-1解:Q1 x11 x1)1),4f(x) TV2 x1 42n x展开式成立的区间为(2,2)6 .求微分方程y' xcosx 、满足初始条件y x一的特解。2解：原方程化为y' y xcosxx1414p(x)dxp(x)dxdx-dxy e ( Q(x)e dx C) e x ( xcosx ex C) 2分x(sin x C) 5分由y ,得C 2 ,特解为y x(sin x 2) 7分x 227.计算二重积分xjyd，其中D是由曲线y6和y x2所围成的闭区D域。解：D (x, y)|0 x 1, x2y Vx 2分x>/yd0 dx x： xydyD1 2-(x 034 7x )dx6 .55 四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 4. 1.L是连接以(1,0)为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a为何值时，曲 线积分J6xy2 y3)dx a(xy2 2x2y)dy与积分路径无关，并计算此时的积分 值。解：令 P 6xy2 y3, Q a(xy2 2x2y),则Q2P2c 八a(y 4xy), 一 12xy 3y 2分xy令-Q 上，得a 3,曲线积分与路径无关 3分x y选择路径 L L1 L2, L1:y 0( 1 x 1), L2:x 1(0 y 2), 5分L (6xy2 y3)dx a(xy2 2x2y)dy 0 3(y2 2y)dy 4 7分2.要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能 使它的表面积最小。解：设水池的长、宽、高分别为 x,y,z,水池的表面积为A,则A xy 2xz 2yz, xyz k 2分令 F xy 2xz 2yz (xyz k) 4分Fxy2zyz0Fyx2zxz0八y 5分Fz 2x 2y xy 0 xyz k解得 x y 3/2k, z 2k 7分23.设“*）在|*| 1上有定义，在x0某领域有一阶连续的导数且lim f(x) a 0,求证：(1) x 0 x1f(')是正项级n 1 n(2) 因为lim上凶 x 0 xa 0 ,所以 lim f (x) 0x 0f(1)发散；(2)(-1 )n-1f (1)收敛。nn 1n解：因为lim上区 a 0,所以当n充分大后f（）0 1分x 0 xn又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为数2分1f(x)f (7(1)因为 lim 要 lim 一X 0 x n 11发散，所以fj）发散4分n 1 nn 1 n又 x”f(x) f(0)(连续)，所以 f(0) 0 5分f(x) f(0) f(x) 八f '(0) lim - lim a 0x 0 xx 0 x又广在乂 0连续，得lim f (x) f (0) a 0x 01 .,由极限性质得，当n充分大时，f(1)单调递减 5分n一，11又由 limf(x) f(0)得 lim f (-) 0x 0nn由莱布尼兹判别法得(-1 )n-1 f (-)收敛。7分n 1n
