微分方程--基础.docx

第七章微分方程内容提要:微分方程的概念1. 微分方程：F (x, y, y ；，y(n) = 02. 微分方程的阶3. .微分方程的解y = f (x)隐式解f (x, y) = 04. 微分方程的通解y = f (x)+c与隐式通解f(x, y,c) = 05. 微分方程的特解6. 微分方程的初值问题7. 微分方程的积分曲线8. 增根与失根问题：(奇解：不能从通解中得到的解)例1求微分方程的通解dy dx。y 一 x解：fdy=M 隐式通解ln |y|=ln |x|+c显式通解 y =kx° y x'增根：原方程解的曲线不过原点例2 解方程22 dy dy。解：JCP306,通解为： y* ；y x =xy'ln | y |=- cdx dxx失根：实际上微分方程的解包括(0,0)或说积分曲线过原点。建议：注意题目是 解方程 还是 求方程的通解一阶微分方程1可分离变量方程： g(y)dy = f(x)dx 例dy=x+y。 dx解：拆不成就捆令+. . dy du du成可分离了x y u ,1, u 1dx dx dx注意倒过来的情况： dy 1 -JCP313 dx x - y2齐次方程：以=邛(与令丫*dx x3 一阶线性方程：y' + P(x) y = Q(x)其解：y =e - P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx C1建议：Q(x)P(x)dx丫 = A(x) A(x) dx C , A(x)飞例曳=x+y即：y - y = x注意倒过来的情况：dy _ 1 ，即x'-x=ydxdx x y4*贝努利方程y + P(x)y =Q(x)yn(n ¥0,1)解法：令 z = y1* 变为 z' + (1 -n)P(x)z = (1 -n)Q(x)75*全微分方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy =0 满足 P；=Q；例：(x+y)dx+ (x y)dy =0 解1：齐次方程；解 2：凑微分法；解 3：拆微分法;三、*可降阶的微分方程：直接积分型；不显含 Y型；不显含X型1. yk= f (x)型的微分方程特点：右端仅含x.解法：积分两次.2. y“ = f (x, y)型的微分方程特点：右端不显含未知函数y.解法：换元，化为一阶方程求解.步骤如下：令y=p,则y” = dp = p，方程化为pjf(x, p) dx(这是关于变量 x, p的一阶方程)；解出p ;再由y'=p解出y .例题1 求微分方程y，=y+x的通解.(JCP323T1-5)3. 丫”="丫,丫)型的微分方程特点：右端不显含 x.解法：换元，化为一阶方程求解.步骤如下:令y = p,则y = dp=dpdy=p曲，方程化为pdp=f(y,p) dx dy dx dydy(这是关于变量 y , p的一阶方程)；解出p ；再由y' = p解出y .例题2 求微分方程y，= (y)3+y，的通解.(JCP323T1-10)1.微分方程xy"+3y'=0的通解为 .【y = 2x -x2 】练习题2 .求初值问题!"x )y =2xy ,的解. y(0) =1,y(0) =33 .解方程 yy"y2 =0.【y =C2eC1x 】4 .求初值问题 yy " = 1 + y'2, y(1) =1, y'(1) =0 的解.【y = 1 (e" + e1。)】 235 .求效分万程y(x+y )=y满足初始条件y(1) = y (1) =1的特解.107-2, y=_2x2+1】33四、五、高阶线性微分方程解的结构1 .齐次的：y " + P(x)y'+Q(x)y =0结论1:如果y(x)与y2(x)是方程的两个解，则 y =C . (x) CC2y2 (x)也是其解结论2：如果yi(x)与y2(x)是方程的两个无关的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解推论：如果y1(x),，yn(x)是齐次方程y(n) +a(x)y(n口 +an(x)y' + an(x)y =0的N个无关的解，则其通解为y =C1yi(x) C2y2(x)Cnyn(x)2 .非齐次的：y“ + P(x)y'+Q(x)y = f (x)结论1：设y*(x)是方程y"+P(x)y' + Q(x)y = f(x)的一个特解，丫则是对应的齐次方程的通解，则y =Y(x) +y*(x)是非齐次的通解结论2：如果非齐次方程为y*+P(x)y' + Q(x)y = f1(x) + f2(x)而y1 * (x)与y2* (x)分别是方程y " + P(x)y ' + Q(x)y = fi(x)和 y "+P(x)y'+Q(x) y = f2(x)的特解，则 y1 * (x) + y2 * (x)是原方程 的特解二阶常系数线性微分方程1 常系数齐次线性微分方程y * + P(x)y' + Q(x)y = 0= y"+py' + qy = 0特征力程r2 +pr+q =0的两个根r1 ,r2微分方程y" + py * + qy = 0的通解两个不相等的实根 I1J2两个不相等的实根r1=r2一对共轲复根1,2 = n 土 i Py =C1er1x +C2er2x，y =(G +C2x)er1x，y =3" (C1 cosPx +C2 sin Px)例 1： y” + 5y'+ 6y = 0；例 2： y" 4y'+4y = 0 ;例 3:2 .常系数非齐次线性微分方程(简单的)y"+py，+qy= f (x)特解的求法：待定系数法，(常数变易法，微分算子法)结论1：如果f(x) = Pm(x)e*，则方程有形如y* =xkQm(x)e五的特解，y" 2y+5y = 0， i,2=i±2i0, 土不是特征方程的根k =1, 土是特征方程的单根2 ?是特征方程的重根例 1： 2y" + y'y=2ex例 2： y*+3y'+2y =3xe" 例 3 y"6y'+9y = (x + 1)e3x解1：儿二i不是特征方程2r2 +r 1 =0,r1 = 1,r2=1/2的根，故y*=Cex代入原方程得C=1解2：儿=，是特征方程r2 +3r+2 =0,r1 = 1,r2 = 2的单根，故 y* = x(Ax + B)e"，代入原方程得 A = 3/2, B = 3解 3： Z =3是特征方程 r2 6r 99 =0,r1 = r2 = 3的重根， 故 y* =x2(Ax + B)e3x代入原方程得 A=1/6, B=1/2结论 2：如果 f (x) =e% P (x)coscox + Pn (x) sincox ，则方程有形如 y* =xke丸 Rm(x)cos(ox +Rm(x)sin(cix的特解，_p,九+心(九_i不是特征方程的根，m = maxl,n，R；(x),R2(x)是m次多项式k =1，九+心(九一心)是特征方程的单根例 4： y" 2y' + 5y = exsin2x 例 5 y" + 4y = xcosx解4：九+心=1+2i是特征方程r2 _2r+5=0,r1,2 =1±2i的单根，故y* = xex Acos2x + Bsin 2x代入原方程得 A = _1/4,B = 0即：y* = (xex cos2x) / 4解 5：九+i®=i 不是特征方程 r2 +4 =0,r1,2 =±2i 的单根，故 y* = (Ax + B)cosx+ (Cx + D)sin x代入原方程得 A=1/3,B=0,C =0,D = 2/9 即：v* 1 xccsx 十2 sin Xyx cos x sin x3 9六、微分方程的简单应用1 .几何中的应用2 . *力学中的应用例1 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂 8米，另一边下垂10米,试问整个链条滑过钉子需多长时间？解：设链条的线密度为N,经过t时间下滑了 x米，由牛顿第二定律，得d 2xm2-=(10+x)Ng - (8-x)Ng , m=18 x(0) = 0, x (0) = 0dt乂"_g乂=&1 二、/-v-gt3,即：99 解得 x(t) = (e 3+e3)1 ,令 x = 8 ,则 t =-j=ln(9 + q80)x(0) =0,x(0) =02g3 .经济应用第七讲微分方程-题型、解与通解问题例dy = y2 ,通解y =二,不包括y 二 0dxx c、一阶线性方程：y' + P(x)y =Q(x)其解：y = e-p(x)dx IfQ(x)e'(x)dxdx +C 】例 1设 f (x)可导，且 f f (ux)du =1 f (x) +1，求 f (x)1斛：将原方程两边乘以X,信f (ux)dux = xf (x) + x对左漏积分令 ux = tx1巳砥.10 f (t)dt = 2 xf (x) + x，求导Gf (x) =- f (x) +xf (x) +1即：f'(x)/f (x) = W 通解：f(x) = Cx + 2 x x例2.求解微分方程y'xcosy +sin2y) =1解：，1,， C，、. C ，y =, x =xcosy sin2y, x _(cosy)x =sin2yxcosy sin2y对应的齐次方程：x._(cosy)x=0的解为X=Cesiny,再用常系数变易法 x=C(y)esiny代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解为x = A(y)|fQ(y)dy + c I A(y)= e#)dy，_ A(y) 'A(y) =e - P(y)dy 二 ecosydy 二 esinyQ(y) sin 2y 2sin y而丫dy siny dy= siny dsin y - -2e (1 sin y) A(y) ee故通解为 x =esiny-2e'iny(1 siny) C=2(1 siny) Cesiny练习：求方程(1+e/y) ydx+(y _x)dy =0 的通解。(yex/y+x = c)三、高阶线性微分方程解的结构例 y y = ex cosx = y y ex y y 二 c o sc 2斛：对应齐次万程通斛为：Y(x)=C1 cosx+ C2sinx (特征万程为r +1=0,r=±i)y * + y = ex 的特解为 y1 = Cex 代入得 c=i/2，即 y1 = 1 ex2y" + y = cosx的特解为 y2 =x(Acosx+Bsinx)代入得：A=0, B=1/2即：y2 = 1xsinx 2原方程的通解为y二C1 cosc C2sinx 1ex 1xsinx 22四、微分方程的初值问题例设f (x)为一阶连续函数，且满足 f (x) =sin x - x (x -t) f (t)dt，求f (x)解：显然 f (x) =sin x x 0 f (t)dt + 0tf (t)dt，则 f '(x) =cosx j f (t)dt， f "(x) + f (x) = -sinx注意边值条件：f (0) =0, f (0) =1齐次方程 f "(x) + f(x) =0的通解为：Y =C1 cosx+C2sinx非齐次方程f *(x) + f (x) =sin x的一个特解为：y* =x(Acosx十Bsin x)代入解得 A=1/2,B = 0故通解为：.1y =C1cosx C2 sin x xcosx 2由初值条件得 C1=0, C2=1故y = f(x)=；(sinx+xcosx)注意：积分方程化为微分方程时，不要忘记找出隐含的初始条件。五、简单应用：例(01S2)设L是一条平面曲线，若上任一点P(x, y)(x >0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 Y轴上的截距，且 L经过(1/2,0)，试求L的方程。解：设曲线l过点p(x, y)(x >0)的切线方程为 Y - y = y'(X x),令x=o,则该切线在Y轴上的截距为y_yx,由题设有|y y'x|=jx2 +y2 ,(1)先求 y y x = x2 + y2这是齐次微分方程。令u = y,化为 y _dx,解之得(见公式) x21 u xcCC C22ln(u+vu +1) =ln， u +<u +1=一 ， ux+4(ux) +x =C，即：y+<x +y =Cxx1由 L 经过(1/2,0),知 C=1/2, L 的万程为 y+；x2 +y2 =5 即:1222(2)再求y yx =-Jx +y，同理可求得：y = x 4详解：由 y -yx二Yx2+y2 有 y'=)+ J+(_y)2 令 u x V xy nt dudx=上贝u = 一x . 1 u2xln(u + Ju2 +1) = in cx , u + Ju2 +1 = cx 代入 x = 1/2,u=0 得 c=22一.，-2222 1u u 1 -2x= y . y x =2x = y = x - 4附：公式du22-/ =ln(x x a ) Cx a六、*微分方程用于求哥级数的和函数3 n八一.一、,例求帚级数x x 的和函数n=o(3n)!解：设y(x)一 3n=J xn6(3n)!则有 y" + y'+y = ex 且 y(0) = 1,y'(0) = 0，。