浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版.wps

2 22.32.3 向量数乘运算及其几何意义 预习课本 P8790，思考并完成以下问题 (1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？ (2)向量数乘运算满足哪三条运算律？ (3)向量共线定理是怎样表述的？ (4)向量的线性运算是指的哪三种运算？ 新知初探 1向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a， 它的长度和方向规定如下： |a|a|； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 (2)运算律：设 ， 为任意实数，则有： (a)()a； ()aaa； (ab)ab； 特别地，有()a(a)(a)； (ab)ab. 点睛 (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 a，a 均无 法运算 (2)a 的结果为向量，所以当 0 时，得到的结果为 0 而不是 0. 2向量共线的条件 1 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a. 点睛 (1)定理中 a 是非零向量，其原因是：若 a0，b0 时，虽有 a 与 b 共线，但不 存在实数 使 ba 成立；若 ab0，a 与 b 显然共线，但实数 不唯一，任一实数 都能使 ba 成立 (2)a 是非零向量，b 可以是 0，这时 0a，所以有 0，如果 b 不是 0，那么 是不 为零的实数 3向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量 a，b 及任意实数 ， 1，2，恒有 (1a±2b)1a ±2b. 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)a 的方向与 a 的方向一致( ) (2)共线向量定理中，条件 a0 可以去掉( ) (3)对于任意实数 m 和向量 a，b，若 mamb，则 ab.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2若|a|1，|b|2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) Ab2a Bb2a Ca2b Da2b 答案：A 1 3在四边形 ABCD 中，若 AB CD ，则此四边形是( ) 2 A平行四边形 B菱形 C梯形 D矩形 答案：C 4化简：2(3a4b)7a_. 答案：a8b 向量的线性运算 例 1 化简下列各式： 1 (1)3(6ab)9(a b)； 3 2 1 1 1 3 (2) 2 ； 2 3 a2b(a a b) ( b) 2 2 8 (3)2(5a4bc)3(a3bc)7a. 解 (1)原式18a3b9a3b9a. 1 3 3 3 3 (2)原式2(2a b)a ba ba b0. 2 4 4 4 (3)原式10a8b2c3a9b3c7abc. 向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取 公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量 活学活用 化简下列各式： (1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)； 1 (2) 22a8b44a2b. 6 解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b. 1 1 (2)原式 (4a16b16a8b) (12a24b)2a4b. 6 6 用已知向量表示未知向量 典例 如图所示，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，M，N 分 别 是 DE，BC 的中点，已知 BC a， BD b，试用 a，b 分别表示 DE ， CE ， MN . 1 2 a. 1 1 解 由三角形中位线定理，知 DE 綊 BC，故 DE BC ，即 DE 2 2 1 1 CE CB BD DE ab a ab. 2 2 1 1 MN MD DB BN ED DB BC 2 2 1 1 1 ab a ab. 4 2 4 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有 3 关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算 的反复应用 活学活用 如图，四边形 OADB 是以向量OA a，OB b 为边的平行四边形又 1 1 BM BC ，CN CD ，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN . 3 3 1 1 1 1 解： BM BC BA (OA OB ) (ab)， 3 6 6 6 OM OB BM 1 1 1 5 b a b a b. 6 6 6 6 1 1 CN CD OD ， 3 6 1 1 ON OC CN OD OD 2 6 2 2 2 OD (OA OB ) (ab) 3 3 3 MN ON OM 2 1 5 1 1 (ab) a b a b. 3 6 6 2 6 共线向量定理的应用 题点一：判断或证明点共线 1已知两个非零向量 a 与 b 不共线， AB ab， BC 2a8b，CD 3(ab)，求 证： A，B，D 三点共线 证明： AB ab， BC 2a8b，CD 3(ab)， BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB . AB ， BD 共线， 又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 题点二：利用向量的共线确定参数 2已知 a，b 是不共线的两个非零向量，当 8akb 与 ka2b 共线时，求实数 k 的值 解：8akb 与 ka2b 共线， 存在实数 ，使得 8akb(ka2b)， 4 即(8k)a(k2)b0. a 与 b 不共线，Error! 解得 ±2， k2±4. 题点三：几何图形形状的判定 1 2 3.如图所示，正三角形 ABC 的边长为 15， AP AB AC ， 3 5 1 2 BQ AB AC. 5 5 求证：四边形 APQB 为梯形 1 2 1 2 13 证明：因为 PQ PA AB BQ AB AC AB AB AC AB ， 3 5 5 5 15 所以 PQ AB . 又|AB |15，所以|PQ |13，故|PQ | AB |，于是四边形 APQB 为梯形 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量 AB AC ，则 AB ， AC 共线，又 AB 与 AC 有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是 证明三点共线的重要方法 层级一 学业水平达标 1若|a|5，b 与 a 的方向相反，且|b|7，则 a( ) 5 5 A b B b 7 7 7 7 C b D b 5 5 解 析：选 B b 与 a 反向，故 ab(0)，|a|b|，则 5×7，所以 5 5 ，a b. 7 7 2已知 a5e，b3e，c4e，则 2a3bc( ) A5e B5e C23e D23e 解析：选 C 2a3bc2×5e3×(3e)4e23e. 5 3已知 AB a5b， BC 2a8b，CD 3(ab)，则( ) AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 解析：选 B BD BC CD 2a8b3(ab)a5b AB ， 又 BD 与 AB 有公共点 B，A，B，D 三点共线 2 1 4在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP CA CB ，又 AP t AB ，则 t 的值为 3 3 ( ) 1 2 A B 3 3 1 5 C D 2 3 2 1 1 1 解析：选A 由题意可得 AP CP CA CA CB CA (CB CA) AB ， 3 3 3 3 1 又AP t AB ，t . 3 5在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线交 DC 于点 F，若 AB a， AD b，则 AF ( ) 1 1 A ab B ab 3 2 1 1 Ca b Da b 3 2 1 1 解 析：选 A 由已知条件可知 BE3DE，DF AB， AF AD DF AD AB 3 3 1 ab. 3 6若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，则 x_. 解析：由已知得 3x3a2x4a4x4a4b0， x3a4b0，x4b3a. 答案：4b3a 7下列向量中 a，b 共线的有_(填序号) a2e，b2e； ae1e2，b2e12e2； 2 1 a 4e1 e2，be1 e2； 5 10 ae1e2，b2e12e2. 6 2 解析： 中，ab；中，b2e12e22(e1e2)2a；中，a4e1 e24 5 1 (e1 e 2) 4b；中，当 e1，e2不共线时，ab.故填. 10 答案： 8已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma3b 与 a(2m)b 共线，则实数 m 的 值为_ 解析：因为向量 ma3b 与 a(2m)b 共线且向量 a，b 是两个不共线的向量，所以存在 实数 ，使得 ma3ba(2m)b，即(m)a(m23)b0，因为 a 与 b 不共 线，所以Error!解得 m1 或 m3. 答案：1 或 3 9计算： 2 1 2 (1) (ab) (2a4b) (2a13b)； 5 3 15 (2)(2mn)amb(mn)(ab)(m，n 为实数) 2 2 4 2 4 26 解：(1)原式( a b0. 15) ( 15) 5 3 5 3 (2)原式2manambm(ab)n(ab) 2manambmambnanb manb. 10已知 e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若 a 与 b 是共线向 量，求实数 k 的值 解：a 与 b 是共线向量，ab， 2e1e2(ke1e2)ke1e2， Error! Error! k2. 层级二 应试能力达标 1设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论中正确的是( ) Aa 与 a 的方向相同 Ba 与a 的方向相反 Ca 与 2a 的方向相同 D|a|a| 解析：选 C 只有当 0 时，a 与 a 的方向相同，a 与a 的方向相反，且|a| |a|.因为 20，所以 a 与 2a 的方向相同 2已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为边 BC 的中点，且 2OA OB OC 0，则( ) 7 A AO OD B AO 2OD C AO 3OD D2AO OD 解 析：选 A 在ABC 中，D 为边 BC 的中点，OB OC 2OD ，2(OA OD ) 0，即OA OD 0，从而 AO OD . 3已知向量 a，b 不共线，若 AB 1ab， AC a2b，且 A，B，C 三点共线，则 关于实数 1，2一定成立的关系式为( ) A121 B121 C121 D121 解析：选 C A，B，C 三点共线， AB k AC (k0) 1abk(a2b)kak2b. 又a，b 不共线， Error!121. 4已知平面内有一点 P 及一个ABC，若 PA PB PC AB ，则( ) A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上 C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上 解析：选 D PA PB PC AB ， PA PB PC AB 0， PA PB BA PC 0，即 PA PA PC 0， 2PACP ，点 P 在线段 AC 上 5设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 ke12e2 与 8e1ke2方向相反，则 k_. 解析：ke12e2与 8e1ke2共线， ke12e2(8e1ke2)8e1ke2. Error!解得Error!或Error! ke12e2与 8e1ke2反向， 1 ，k4. 2 答案：4 6.如图所示，在ABCD 中， AB a， AD b，AN3NC，M 为 BC 的中点，则 MN _(用 a，b)表示 8 1 1 解析： MN MC CN MC NC AD AC 2 4 1 1 1 1 1 b (ab) b a (ba) 2 4 4 4 4 1 答案： (ba) 4 7已知：在四边形 ABCD 中， AB a2b， BC 4ab，CD 5a3b，求证：四 边形 ABCD 为梯形 证明：如图所示 AD AB BC CD (a2b)(4ab)(5a3b) 8a2b2(4ab)， AD 2BC . AD 与 BC 共线，且|AD |2|BC |. 又这两个向量所在的直线不重合， ADBC，且 AD2BC. 四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形 8.如图，已知OCB 中，点 A 是 BC 的中点，D 是将 OB 分成 21 的 一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b. (1)用 a，b 表示向量 OC ， DC ； (2)若OE OA ，求 的值 1 解：(1)由 A 是 BC 的中点，则有OA (OB OC )， 2 从而OC 2OA OB 2ab. 2 由 D 是将 OB 分成 21 的一个内分点，得OD OB ， 3 2 5 从而 DC OC OD (2ab) b2a b. 3 3 (2)由于 C，E，D 三点共线，则 EC DC ， 又 EC OC OE (2ab)a(2)ab， 5 DC 2a b， 3 5 从而(2)ab(2a b)， 3 9 4 又 a，b 不共线，则Error!解得 . 5 10