浙江专版2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十三平面向量数量积的坐标表示模夹角新人教A版必修.wps

课时跟踪检测（二十三） 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 层级一 学业水平达标 1已知向量 a(0，2 3)，b(1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B3 C 3 D3 a·b 6 解析：选 D 向量 a 在 b 方向上的投影为 3.选 D. |b| 2 2设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 解析：选 B 由 ab 得 a·b0， x×11×(2)0，即 x2， ab(3，1)， |ab| 32 12 10. 3已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，则 k( ) A12 B6 C6 D12 解 析：选 D 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由 a·(2ab)0，得(2,1)·(5,2 k)0，102k0，解得 k12. 4a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于( ) 8 8 A. B 65 65 16 16 C. D 65 65 解 析：选 C 设 b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以Error!解得Error!故 b a·b 16 (5,12)，所以 cosa，b . |a|b| 65 5已知 A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC 的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 解 析：选 A 由题设知 AB (8，4)， AC (2,4)， BC (6,8)， AB ·AC 2×8(4)×40，即 AB AC . BAC90°， 故ABC 是直角三角形 6设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_. 解 析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)·b0，即 3(m1)3m0，解得 m 1 1 ，则 a(1，1)，故|a| 2. 2 答案： 2 7 已 知 向 量 a (1， 3)， 2a b ( 1， 3)， a 与 2a b 的 夹 角 为 ， 则 _. 解析：a(1， 3)，2ab(1， 3)， |a|2，|2ab|2，a·(2ab)2， a·2ab 1 cos ， . |a|2ab| 2 3 答案： 3 8已知向量 a( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a·b 3，则向量 b 的坐标 为_ 1 3 解析：设 b(x，y)(y0)，则依题意有Error!解得Error!故 b( 2). ， 2 1 2 答案：( ， 3 2) 9已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)，xR. (1)若 ab，求 x 的值； (2)若 ab，求|ab|. 解：(1)若 ab， 则 a·b(1，x)·(2x3，x) 1×(2x3)x(x)0， 即 x22x30，解得 x1 或 x3. (2)若 ab，则 1×(x)x(2x3)0， 即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)， ab(2,0)，|ab|2. 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)， ab(2，4)，|ab| 4162 5. 综上，|ab|2 或 2 5. 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,4)，B(2,3)，C(2，1) (1)求 AB ·AC 及|AB AC |； (2)设实数 t 满足(AB tOC )OC ，求 t 的值 解：(1) AB (3，1)， AC (1，5)， 2 AB ·AC 3×1(1)×(5)2. AB AC (2，6)， |AB AC | 4362 10. (2) AB tOC (32t，1t)，OC (2，1)，且(AB tOC )OC ， (AB tOC )·OC 0， (32t)×2(1t)·(1)0， t1. 层级二 应试能力达标 1 1 1设向量 a(1,0)，b( 2 )，则下列结论中正确的是( ) ， 2 A|a|b| Ba·b 2 2 Cab 与 b 垂直 Dab 1 1 2 1 解 析： 选 C 由题意知|a| 12021，|b| ( ，a·b1× 0× 2 )2(2 )2 2 2 1 1 1 1 ，(ab)·ba·b|b|2 0，故 ab 与 b 垂直 2 2 2 2 2已知向量OA (2,2)，OB (4,1)，在 x 轴上有一点 P，使 AP ·BP 有最小值，则 点 P 的坐标是( ) A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0) 解析：选 C 设 P(x,0)，则 AP (x2，2)， BP (x4，1)， AP ·BP (x2)(x4)2x26x10(x3)21， 故当 x3 时， AP ·BP 最小，此时点 P 的坐标为(3,0) 3若 a(x,2)，b(3,5)，且 a 与 b 的夹角是钝角，则实数 x 的取值范围是( ) 10 10 A.( ， 3) B.( ， 3 10 10 C.( ，) D. ，) 3 3 10 6 解析：选 C x 应满足(x,2)·(3,5)0 且 a，b 不共线，解得 x ，且 x ， 3 5 10 x . 3 4已知OA (3,1)，OB (0,5)，且 AC OB ， BC AB (O 为坐标原点)，则 点 C 的坐标是( ) 3 29 29 A.(3， 4) B.(3， 4) 29 29 C.(3， 4) D.(3， 4) 解析：选 B 设 C(x，y)，则OC (x，y) 又OA (3,1)， AC OC OA (x3，y1) AC OB ， 5(x3)0·(y1)0，x3. OB (0,5)， BC OC OB (x，y5)， AB OB OA (3,4) 29 BC AB ，3x4(y5)0，y ， 4 29 C 点的坐标是(3， 4). 5平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角， 则 m_. 解析：因为向量 a(1,2)，b(4,2)，所以 cmab(m4,2m2)，所以 a·cm4 2(2m2)5m8，b·c4(m4)2(2m2)8m20. c·a c·b a·c b·c 5m8 因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，所以 ，即 ，所以 |c|·|a| |c|·|b| |a| |b| 5 8m20 ， 2 5 解得 m2. 答案：2 6已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE ·CB 的值为_； DE ·DC 的最大值为_ 解析： 以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所 示 则 D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)， 设 E(1，a)(0a1) 所以 DE ·CB (1，a)·(1,0)1， DE ·DC (1，a)·(0,1)a1， 故 DE ·DC 的最大值为 1. 答案：1 1 7已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2) (1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标； 4 5 (2)若|b| ，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a 与 b 的夹角 . 2 解：(1)设 c(x，y)，|c|2 5， x2y22 5， x2y220. 由 ca 和|c|2 5， 可得Error!解得Error!或Error! 故 c(2,4)或 c(2，4) (2)(a2b)(2ab)，(a2b)·(2ab)0， 即 2a23a·b2b20， 5 5 2×53a·b2× 0，整理得 a·b ， 4 2 a·b cos 1. |a|b| 又 0，. 8已知OA (4,0)，OB (2,2 3)，OC (1)OA OB (2) (1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影； (2)证明 A，B，C 三点共线，且当 AB BC 时，求 的值； (3)求|OC |的最小值 · 8 1 解：(1)OA ·OB 8，设OA 与OB 的夹角为 ，则 cos ， | | 4 × 4 2 1 OA 在OB 上的投影为|OA |cos 4× 2. 2 (2)AB OB OA (2,2 3)， BC OC OB (1)·OA (1)OB (1)AB ，所以 A，B，C 三点共线 当 AB BC 时，11，所以 2. (3)|OC |2(1)2OA2 2(1)OA ·OB 2OB2 1 162161616(2)212， 1 当 时，|OC |取到最小值，为 2 3. 2 5