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初中数学二次函数知识点汇总21.定义:一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数. xa,0)y,ax，bx，c(a,b,cy22.二次函数的性质 y,ax2(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. y,axy2(2)函数的图像与的符号关系. ay,axa,0 ?当时抛物线开口向上顶点为其最低点; ,a,0?当时抛物线开口向下顶点为其最高点. ,2(a,0)(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. y,axy23.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线. y,ax，bx，cy224.二次函数用配方法可化成:的形式，其中y,ax，bx，c，y,ax,h，k2b4acb,hk. ,，,2a4a222;?;?;?5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?y,axy,ax，k，y,ax,h22;?. y,ax，bx，c，y,ax,h，k6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a,0a,0 ?a的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下; a相等，抛物线的开口大小、形状相同. x,hx,0 ?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. yya7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 22b4acb,2)公式法:8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1，?顶点是yaxbxcax,，,，,2a4a,2b4ac,bb(，)x,，对称轴是直线. 2a2a4a2hk (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，y,ax,h，kx,h对称轴是直线. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分1 线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 29.抛物线中，的作用 a,b,cy,ax，bx，c2 (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. aay,ax2b (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ay,ax，bx，cbbbb,0x,，故:?时，对称轴为轴;?(即、同号)时，对称轴在轴左侧;a,0yy2aabb?(即、异号)时，对称轴在轴右侧. a,0ya2 (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. cy,ax，bx，cy2x,0 当时，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，): cy,ax，bx，cyy,cc,0c,0c,0 ?，抛物线经过原点; ?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴. yyb 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . ,0ya10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 (0,0) x,0(轴) y y,ax2k) (0, x,0(轴) y y,ax，k2hx,h (,0) ，y,ax,ha,0当时 2开口向上 hkx,h (,) ，y,ax,h，ka,0当时 b22x, y,ax，bx，cb4acb,2a,，() 开口向下 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式 2x (1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. y,ax，bx，cy2 (2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ，y,ax,h，kxx，y,ax,xx,x (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标、，通常选用交点式:. 112212.直线与抛物线的交点 2cy,ax，bx，c (1)轴与抛物线得交点为(0, ). y2 22hx,h (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). ah，bh，cy,ax，bx，cy(3)抛物线与轴的交点 x2 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程xxxy,ax，bx，c122的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别ax，bx，c,0x式判定: ,0 ?有两个交点抛物线与轴相交; x,0 ?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; xx,0 ?没有交点抛物线与轴相离. x,(4)平行于轴的直线与抛物线的交点 x同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵2k坐标为，则横坐标是ax，bx，c,k的两个实数根. 2lG (5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方，y,kx，nk,0，y,ax，bx，ca,0y,kx，nGl程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时与有两个交点; ?,2y,ax，bx，cGGll方程组只有一组解时与只有一个交点;?方程组无解时与没有交点. ,2 (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为，xx，Ax，0，Bx，0y,ax，bx，c122ax，bx，c,0由于x、是方程的两个根，故 x12bcx，x,x,x,1212aa22b4cb,4ac,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,，, 12121212aaaa,二次函数的解析式有三种形式: 2(1)一般式: y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)2(2)顶点式: y,a(x,h)，k(a,h,k是常数，a,0)22ax，bx，c,0xx(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和y,ax，bx，c1222存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转ax，bx，c,a(x,x)(x,x)y,ax，bx，c12y,a(x,x)(x,x)化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 123 考点三、二次函数的最值 (10分)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大24acb,b值(或最小值)，即当时，。 yx,最值2a4ab如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，,x,x,xx,x,x12122a24acb,b若在此范围内，则当x=时，y;若不在此范围内，则需要考虑函数在范,x,x,x12最值2a4a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当x,xx,xy,ax，bx，c2122最大22时，;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，x,xy,ax，bx，cy,ax，bx，c11111最小最大2当时，。 x,xy,ax，bx，c222最小考点四、二次函数的性质 (614分) 1、二次函数的性质 二次函数 函数 2 y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)a>0 a<0 y y 图像 0 x 0 x (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸; (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸; bbbb,(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，顶点坐标是(，(2)对称轴是x=2a2a2a2a224acb4acb,); ); 4a4a性质 bb,(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随x(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随2a2a的增大而减小;在对称轴的右侧，即当x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当bb,x>x>时，y随x的增大而增大，简记左减时，y随x的增大而减小，简记左2a2a右增; 增右减; 4 bb(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小时，y有最(4)抛物线有最高点，当x=,2a2a224acb4acb,值， 大值， yy,最小值最大值4a4a2a、b、c2、二次函数中，的含义:表示开口方向:>0aay,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)时，抛物线开口向上， <0时，抛物线开口向下 abb与对称轴有关:对称轴为x= ,2a表示抛物线与y轴的交点坐标:(0，) cc3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 2因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 ,b,4ac当>0时，图像与x轴有两个交点; ,当=0时，图像与x轴有一个交点; ,当<0时，图像与x轴没有交点。 ,2二次函数知识点:1(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)abcyaxbxc,，a,0，而可以的函数，叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数bca,0为零(二次函数的定义域是全体实数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xx? abc是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( acb二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,oo结论:a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结: 5 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随xyy x,0x,0轴 y00 向上 ，a,0的增大而减小;时，有最小值( xy0x,0 时，随的增大而减小;时，随xyyx,0x,0 轴 00y， 向下 a,0的增大而增大;时，有最大值( xy0x,0 22. 的性质: yaxc,，结论:上加下减。同左上加，异右下减 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随xyyx,0x,0 轴 y0c ， 向上 a,0的增大而减小;时，有最小值( xcyx,0 时，随的增大而减小;时，随xyyx,0x,00c 轴 y， 向下 a,0 的增大而增大;时，有最大值( xcyx,023. 的性质: yaxh,，结论:左加右减。同左上加，异右下减 总结: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x时，随的增大而增大;时，随yyxh,xh,h0 ， 向上 X=h a,0x的增大而减小;时，有最小值( y0xh,x时，随的增大而减小;时，随yyxh,xh,h0 ， 向下 X=h a,0x的增大而增大;时，有最大值( y0xh,2yaxhk,，4. 的性质: ，6 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a时，随的增大而增大;时，随xyyxh,xh, hk 向上 X=h ，a,0的增大而减小;时，有最小值( xykxh,时，随的增大而减小;时，随xyyxh,xh,hk ， 向下 X=h a,0的增大而增大;时，有最大值( xykxh,二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2hk? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; yaxhk,，2hk? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: yax,，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk概括成八个字“同左上加，异右下减”( 22三、二次函数与yaxbxc,，的比较 yaxhk,，222yaxbxc,，请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成yaxhk,，。 yxx,，245，总结: 22yaxbxc,，从解析式上看，yaxhk,，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前，222bacb4,bacb4,yax,，者，即，其中( hk,24aa24aa,7 2四、二次函数图象的画法 yaxbxc,，22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，yaxhk,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与0c0c2hc，x0x0xx，12轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. xy2五、二次函数的性质 yaxbxc,，2,bbacb4, 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为( ,x,a,0,24aa2a,bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最xxx,x,x,yyy2a2a2a24acb,小值( 4a2,bbbacb4, 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，,x,x,ya,0,24aa2a2a,2bb4acb,随x的增大而增大;当时，随x的增大而减小;当时，有最大值( x,x,yy2a2a4a六、二次函数解析式的表示方法 21. 一般式:acyaxbxc,，(，为常数，); ba,02a2. 顶点式:yaxhk,，()(，为常数，); hka,0xxx3. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). yaxxxx,()()a,01212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，2bac,40x只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a 1. 二次项系数 2ayaxbxc,，二次函数中，作为二次项系数，显然( a,08 ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; aaa,0? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( aaa,0总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aaa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( ab? 在的前提下， a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴左侧;ab同号同左上加 yb,0,02ab当时，即抛物线的对称轴就是轴; yb,0,02ab当时，即抛物线对称轴在轴的右侧(a,b异号异右下减 yb,0,02a? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴右侧;a,b异号异右下减 yb,0,02ab当时，即抛物线的对称轴就是轴; yb,0,02ab当时，即抛物线对称轴在轴的左侧(ab同号同左上加 yb,0,02a的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ab6、因材施教，重视基础知识的掌握。总结: 同左上加 异右下减 3. 常数项 c125.145.20加与减（三）4 P68-74? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; xyyc,0? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; yy0c,0点在圆上 <=> d=r;? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( xyyc,0总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( cyabc 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 点在圆上 <=> d=r;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; 3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。9