四年级奥林匹克数学基础资料库 第5讲 弃九法 试题.doc

 第5讲 弃九法从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为364573230，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如369，459，729，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。例2 将自然数1，2，3，依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知123945，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，9都可以划掉。在199这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与12100除以9的余数相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5050=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。例3 检验下面的加法算式是否正确：26384573521983674578512907225。分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为01，所以这个算式不正确。例4 检验下面的减法算式是否正确：7832145-21679535664192。分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9+3）-66知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为66，所以这个减法运算可能正确。值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。例5 检验下面的乘法算式是否正确：46876×9537447156412。分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×624，24的九余数是6。乘积的九余数是7。67，所以这个算式不正确。说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。  练习51求下列各数除以9的余数：（1）7468251； （2）36298745；（3）2657348； （4）6678254193。2求下列各式除以9的余数：（1）6723582564； （2）97256-47823；（3）2783×6451； （4）3477+265×841。3用弃九法检验下列各题计算的正确性：（1）228×22250616；（2）334×336112224；（3）23372428÷62363748；（4）12345÷678983810105。4有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。求D。