整式的乘除知识点总结.docx

第 12 章 整式的乘除§幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则 ：am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：2 3 4 2+3+4 9(-2)2 3 2+3 5 52·(-2) 3=(-2) 2+3=(-2) 5=-25；(2 )3·( 2 )4=( 2 ) 3+4=( 2)7；(a+b)3·(a+b) 4·(a+b)= (a+b) 3+4+1=(a+b) 8（ 2）一定要“同底数幂” “相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1 、法则: （am）n=amn（m、n均为正整数）。推广：（ am）n ps=amn 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：2)32×3( 2 )34=( 2 ) 3×4=( 2)12；( a-b) 2 4= ( a-b) 2×4=( a-b )2）运用时注意符号的变化( 3)注意该法则的逆应用，即： amn= ( am)n，如：a15= ( a3)5= ( a5)3三、积的乘方1、法则： ( ab) n=anbn(n为正整数)。推广： ( acde) n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方， 再把所 得的幂相乘。2、注意事项：(1) a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：(2 ) 3=22 2=4 2；( 2 × 3) 2=( 2 ) 2×( 3 ) 2=2× 3=6；(-2abc) 3=(-2) 3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)( a-b) 2=( a+b) 2(a-b) 2(2) 运用时注意符号的变化。(3) 注意该法则的逆应用，即： anbn =( ab)n； 如：23×33= (2 × 3) 3=63，2 2 2(x+y)2(x-y) 2=( x+y)( x-y) 2四、同底数幂的除法1、法则： am÷ an=am-n(m、 n 均为正整数， m>n，a 0) 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：1)a 可以是实数，也可以是代数式等。(-2) 5÷(-2) 3=(-2) 5-3 =(-2) 2=4；( 2 ) 6÷( 2) 4=( 2) 6-4=( 2 )2=2；( a+b) 16÷( a+b) 14= ( a+b) 16-14=( a+b) 2=a2+2ab +b2(2) 注意 a0 这个条件。( 3)注意该法则的逆应用，即： am-n = a m÷an； 如：a x-y= ax÷ay，(x+y) 2a-3=(x+y) 2a÷(x+y) 3§ 整式的乘法一、单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相 同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5 a2b2) ·(-4 b2c)·(- 3 ab)22 2 2=(-5) ×(-4) ×(- 23) ·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30 a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：(乘法分配律) 只要将单项式分别去乘以多项式的每一项， 再将所得的积相加。如： ( 3x2 )( x2 2x 1)=(-3 x2)·(- x2)+(-3 x2)·2 x 一(-3 x2)·1= 3x4 6x3 3x2三、多项式与多项式相乘法则：1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加如：ma+mb+n+anb(2) 把其中一个多项式看成一个整体(单项式) ，去乘以另一个多项式的每一项， 再按照单项式与多项式相乘的法则继续 相乘，最后将所得的积相加。如： (m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b = ma+ na+mb+nb§ 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式： ( a+b)( a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：(1)a、b 可以是实数，也可以是代数式等。 如： (10+9)(10-9)=10 2-9 2=100-81=19；2 2 2 2 2(2 xy+a)(2 xy-a )=(2 xy) -a=4 x y -a；(a+b+ )( a+b - )=(2 xy) 2-a2=4 x 2y2- a2；(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号 的情况，才能用平方差公式。( 3)注意公式的来源还是“多项式×多项式” 。二、完全平方公式1、公式： ( a±b) 2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：(1)a、b 可以是实数，也可以是代数式等。=( 2 ) 2+2× 2 ×3+32=2+6 2 +9=11+6 2 ；( mn-a) 22 2 2 2 2 (mn) -2 mn·a+ a = m n -2 mna+ a；( a+b -)2( a+b) 2-2( a+b) + 2 a 2+2a b+b2-2 a- b +( 2)注意公式运用时的对位“套用” ；( 3)注意公式中“中间的乘积项的符号” 。3、补充公式 ：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒： 利用乘法公式进行整式的运算时注意 “思维顺序”是：“一看二套三计算”§ 整式的除法一、单项式除以单项式 法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的 幂相除，只在被除式中出现的字母， 则连同它的指数一起作为商的一 个因式。如： -21a2b3c÷3ab2-1 3-1=(-21 ÷3) ·a2-1·b3-1·c=-7 ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy 2）÷14x4y3 =8×（-7） ·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2 =5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=(5÷1)(2a+b)4-2=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：(乘法分配律) 只要将多项式的每一项分别去除以单项式， 再将所得的商相加。如： (21x 4y3-35x 3y2+7x2y2) ÷(-7x 2y)=21x 4y3÷ (-7x 2y)-35x 3y2÷(-7x 2y)+ 7x 2y2÷(-7x 2y)22=-3x y +5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)= 4y(2x-y) ÷ (2x-y)-2x(2x-y) ÷ (2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方(开方) ，再乘除，最后加减，括号优先 § 因式分解一、因式分解的定义 ：把一个多项式化为几个整式的积的形式， 叫做因式分解。(分解因式)因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法： 把一个多项式的公因式提取出来， 使多项式 化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因 式。具体步骤：(1) “看”。观察各项是否有公因式；(2) “隔”。把每项的公因式“隔离”出来；(3) “提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项 式化为两个因式的积。( a-b) 2n=(b- a) 2n(n 为正整数 ) ；(a-b) 2n+1=-(b- a) 2n+1(n 为正整数 )；如： 8a2b-4ab+2a =2a·4ab-2a·2b+2a·12=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a ·a+5a·5=-5 a ( a+5)( 注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“ - ”号与公 因式一并提出来。 )三、公式法 ： 利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)( a-b) ；名称：平方差公式。注意事项：(1)a、b可以是实数，也可以是代数式等。如： 102-9 2 =(10+9)(10-9)=19 ×1=19；2 2 2 2 24 x y - a =(2 xy) - a =(2xy+a)(2 xy-a ) ；222n 1 2 2n 1 2 (2n 1 2n 1)(2n 1 2n 1) 8n(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。(3)注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式 ：( a±b) 2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：(1)a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如： m2n2-2 mna+ a2=( mn) 2-2 mn·a+ a2=( mn-a) 2；x2+4xy+y222=x2+2·x·2y+(2y) 22=( x+2 y)2( 2)注意公式运用时的对位“套用” ；( 3)注意公式中“中间的乘积项的符号” 。四、补充分解法 ：1、公式： x2+( a+b) x+ab=( x+a)( x+b) 。如： x2+5x+62= x 2+(2+3) x+2× 3=( x+2)( x+3) ；x2+5x- 62=x2+6+(-1) x+6× (-1)= ( x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如： x2 9x 14 =( x+2)( x+7)x2 2x 8 =( x+2)( x-4)1 -42 + (-4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是： “一 看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（ 1）看首项是否为“一” ，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提 取出来再说；（3）没有公因式时， 就要考虑用乘法公式进行因式分解或者 “十 字相乘法”。3、注意事项：（1）注意（ a-b ）与（ b-a ）的关系是互为相反数；（ 2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的 因式是否可以继续分解；3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分 解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解， 不要乱用此法。