2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修1_120180.doc

§3 全称量词与存在量词 全称量词与全称命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸这就是著名的“罗素理发师悖论”问题问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？提示：任意一个，全部，每个问题2：上述词语都有什么含义？提示：表示某个范围内的整体或全部全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.存在量词与特称命题观察语句：存在一个xR，使3x15；至少有一个xZ，x能被2和3整除问题1：是命题吗？若是命题，判断其真假提示：是，都为真命题问题2：中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？提示：表示总体中“个别”或“一部分”问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？提示：某些，有的，有些存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.全称命题与特称命题的否定观察下列命题：被7整除的整数是奇数；有的函数是偶函数；至少有一个三角形没有外接圆问题1：命题的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对，命题是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”问题2：命题的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数问题3：判断命题的否定的真假提示：命题的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题1判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题2要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的 全称命题与特称命题的判断例1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题(1)对任意xR，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x1，使方程x2x20；(5)对任意xx|x>1,3x4>0成立；(6)存在a1且b2，使ab3成立思路点拨先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析精解详析(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”一点通判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断1下列命题为特称命题的是()A奇函数的图像关于原点对称B正四棱柱都是平行六面体C棱锥仅有一个底面D存在大于等于3的实数x，使x22x30解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.答案：D2下列命题中，全称命题的个数是()任意一个自然数都是正整数；所有的素数都是奇数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是180°.A0个B1个C2个 D3个解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题答案：D全称命题与特称命题的真假判断例2指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数思路点拨本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假精解详析(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题(3)存在x10，x2，x1<x2，但tan 0tan ，所以该命题是假命题(4)存在一个函数f(x)0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题一点通1要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可2要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题3下列命题的假命题是()A有些不相似的三角形面积相等B存在一个实数x，使x2x10C存在实数a，使函数yaxb的值随x的增大而增大D有一个实数的倒数是它本身解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意xR，都有x2x12>0.故B为假命题答案：B4判断下列命题的真假，并说明理由：(1)对任意xR，都有x2x1成立；(2)存在实数，使cos()cos cos 成立；(3)对任意x，yN，都有(xy)N；(4)存在x，yZ，使xy3成立解：(1)法一：当xR时，x2x1(x)2，所以该命题是真命题法二：x2x1 x2x0，由于14×10，所以不等式x2x1的解集是R，所以该命题是真命题(2)当，时，cos()cos()cos()cos，cos cos coscos0，此时cos()cos cos ，所以该命题是真命题(3)当x2，y4时，xy2/ N，所以该命题是假命题(4)当x0，y3时，xy3，即存在x，yZ，使xy3，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定例3判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形思路点拨先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定精解详析(1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下(3)是特称命题且为真命题命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数(4)是特称命题，且为真命题命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形一点通1全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题2写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论5(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.答案：B6若“对任意xR，ax22ax10”为真命题，则实数a的取值范围是_解析：依题意，问题等价于对任意xR，ax22ax10恒成立当a0时，不等式显然成立；当a0时，有解得1a0，故实数a的取值范围是(1,0答案：(1,07判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在xR，使log2x0成立；(4)对任意mZ，都有m230成立解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意xR，都有log2x0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在mZ，使m230成立1判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断2对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；(2)改变量词；(3)否定结论；(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定 1将命题“x2y22xy”改写成全称命题为()A对任意x，yR，都有x2y22xy成立B存在x，yR，使x2y22xy成立C对任意x0，y0，都有x2y22xy成立D存在x0，y0，使x2y22xy成立解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2y22xy成立答案：A2“关于x的不等式f(x)0有解”等价于()A存在xR，使得f(x)0成立B存在xR，使得f(x)0成立C对任意xR，使得f(x)0成立D对任意xR，f(x)0成立解析：“关于x的不等式f(x)0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)0成立”，故选A.答案：A3下列命题为真命题的是()A对任意xR，都有cos x2成立B存在xZ，使log2(3x1)0成立C对任意x0，都有3x3成立D存在xQ，使方程x20有解解析：A中，由于函数ycos x的最大值是1，又12，所以A是真命题；B中，log2(3x1)003x11x，所以B是假命题；C中，当x1时，313，所以C是假命题；D中，x20x/ Q，所以D是假命题，故选A.答案：A4给出四个命题：末位数字是偶数的整数能被2整除；有的菱形是正方形；存在实数x，使x0；对于任意实数x,2x1都是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B是全称命题C是特称命题D四个命题中有两个假命题解析：为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题答案：C5下列命题中全称命题是_；特称命题是_正方形的四条边相等；有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数解析：是全称命题，是特称命题答案：6命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称7写出下列命题的否定并判断其真假(1)有的四边形没有外接圆；(2)某些梯形的对角线互相平分；(3)被8整除的数能被4整除解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题8(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin xcos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x，使不等式sin xcos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围解：(1)令ysin xcos x，xR，ysin xcos xsin，又任意xR，sin xcos x>m恒成立，只要m<即可所求m的取值范围是(，)(2)令ysin xcos x，xR，ysin xcos xsin，又存在xR，使sin xcos x>m有解，只要m<即可，所求m的取值范围是(，)9